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| Aufgabe | Es seien p,q zwei Primzahlen und [mm] (\IZ/p\IZ,+) [/mm] sowie [mm] (\IZ/q\IZ,+) [/mm] die abelschen Gruppen mit p bzw. q Elementen. Das kartesische Produkt [mm] (\IZ/p\IZ\times\IZ/q\IZ,\otimes) [/mm] bildet mit der komponentenweise Verknüpfung
(a,b) [mm] \otimes [/mm] (c,d) = (a+c,b+d)
ebenfalls eine abelsche Gruppe.
(a) Zeigen Sie, dass [mm] (\IZ/6\IZ,+) [/mm] isomorph zu [mm] (\IZ/2\IZ\times\IZ/3\IZ,\otimes) [/mm] ist.
(b) Zeigen Sie, dass es keinen Isomorphismus von [mm] (\IZ/4\IZ,+) [/mm] nach [mm] (\IZ/2\IZ\times\IZ/3\IZ,\otimes) [/mm] gibt. |
Hallo,
allzu weit komm ich nicht. Für einen Isomorphismus muss ich zeigen dass zwischen den beiden Gruppen ein bijektiver Homomorphismus besteht. Ich versuch mir sowas immer gerne bildlich vorzustellen.
Die erste Gruppe setzt sich ja folgendermaßen zusammen: (0,1,2,3,4,5)
Die beiden Gruppen des kartesischen Produkts sind: (0,1) und (0,1,2)
Für das kartesische Produkt folgt somit: ((0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2))
Jetzt brauch ich die Abbildung. Ich hab mal zum ausprobieren folgende Abbildung durchgespielt:
f(G) -> H mit
f(0) = (0,0)
f(1) = (0,1)
f(2) = (0,2)
f(3) = (1,0)
f(4) = (1,1)
f(5) = (1,2)
bijektiv wär die Abbildung ja. Aber ich glaub der Homomorphismus ist nicht erfüllt. Wenn ich jetzt mal ausprobiere:
[mm] f(1+2)=f(3)=(1,0)\not=f(0,1)\otimes\f(0,2) [/mm] glaub ich jedenfalls, denn [mm] f(0,1)\otimes\f(0,2) [/mm] ist ja (0+0,1+2)=(0,3). Aber kann auch gut sein dass da nicht (0,3) rauskommt, da wir ja auch eine [mm] \IZ/2\IZ [/mm] Gruppe in dem Skalarprodukt drin haben. Leider alles sehr verwirrend für mich.
Gruß almightybald
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:14 Do 19.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo almightybald!
> Es seien p,q zwei Primzahlen und [mm](\IZ/p\IZ,+)[/mm] sowie
> [mm](\IZ/q\IZ,+)[/mm] die abelschen Gruppen mit p bzw. q Elementen.
> Das kartesische Produkt [mm](\IZ/p\IZ\times\IZ/q\IZ,\otimes)[/mm]
> bildet mit der komponentenweise Verknüpfung
> (a,b) [mm]\otimes[/mm] (c,d) = (a+c,b+d)
> ebenfalls eine abelsche Gruppe.
>
> (a) Zeigen Sie, dass [mm](\IZ/6\IZ,+)[/mm] isomorph zu
> [mm](\IZ/2\IZ\times\IZ/3\IZ,\otimes)[/mm] ist.
>
> (b) Zeigen Sie, dass es keinen Isomorphismus von
> [mm](\IZ/4\IZ,+)[/mm] nach [mm](\IZ/2\IZ\times\IZ/3\IZ,\otimes)[/mm] gibt.
>
> allzu weit komm ich nicht. Für einen Isomorphismus muss
> ich zeigen dass zwischen den beiden Gruppen ein bijektiver
> Homomorphismus besteht.
Genau.
> Ich versuch mir sowas immer gerne bildlich vorzustellen.
> Die erste Gruppe setzt sich ja folgendermaßen zusammen:
> (0,1,2,3,4,5)
> Die beiden Gruppen des kartesischen Produkts sind: (0,1)
> und (0,1,2)
> Für das kartesische Produkt folgt somit:
> ((0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2))
Ja, wenn du die Restklassen jeweils durch den eindeutigen kleinsten nicht-negativen Repraesentanten darstellst.
> Jetzt brauch ich die Abbildung. Ich hab mal zum
> ausprobieren folgende Abbildung durchgespielt:
> f(G) -> H mit
So nebenbei: man schreibt das eher $f : G [mm] \to [/mm] H$ und nicht $f(G) [mm] \to [/mm] H$.
> f(0) = (0,0)
> f(1) = (0,1)
> f(2) = (0,2)
> f(3) = (1,0)
> f(4) = (1,1)
> f(5) = (1,2)
>
> bijektiv wär die Abbildung ja. Aber ich glaub der
> Homomorphismus ist nicht erfüllt. Wenn ich jetzt mal
> ausprobiere:
Es ist auch kein Homomorphismus.
(Die erste Komponente von $f(1)$ muss 1 sein.)
> [mm]f(1+2)=f(3)=(1,0)\not=f(0,1)\otimes f(0,2)[/mm] glaub ich
> jedenfalls, denn [mm]f(0,1)\otimes f(0,2)[/mm] ist ja
> (0+0,1+2)=(0,3).
Und $(0, 3) = (0, 0)$, da in [mm] $\IZ/3\IZ$ [/mm] gilt $3 = 0$.
> Aber kann auch gut sein dass da nicht
> (0,3) rauskommt, da wir ja auch eine [mm]\IZ/2\IZ[/mm] Gruppe in dem
> Skalarprodukt drin haben. Leider alles sehr verwirrend für
> mich.
In der ersten Komponente rechnest du Modulo 2, in der zweiten Modulo 3.
LG Felix
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