Isomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Do 09.02.2012 | | Autor: | Glog |
| Aufgabe | | Ist [mm] D_{12} [/mm] zu einer Gruppe [mm] S_{n} [/mm] von Permutation von n Elementen isomorph für geeignetes n? |
Hallo zusammen
Meine Idee wäre, dass ich n=4 wähle, denn so haben die beiden Gruppen gleich viele Elemente. Um einen Isomorphismus zu zeigen, muss ich noch einen Homomorphismus h definieren, wobei h injektiv sein muss (und aus der gleiche Gruppenordnung folgt dann bijektivität), also Ker(h)={1} gelten muss.
Definiere ich h wie folgt:
[mm] h(x^{i}y^{j})=s^{i}, [/mm] wobei [mm] x^{i}y^{j} [/mm] die Elemente von [mm] D_{12} [/mm] repräsentieren und [mm] s^{i} [/mm] die Elemente von [mm] S_{4}.
[/mm]
Dann gilt für i=12, also [mm] x^{12}=1 [/mm] und für j=2, also [mm] y^{2}=1.
[/mm]
[mm] z^{i}=1 [/mm] gilt für i=4.
Meine Folgerung daraus: i=4 ist ein Teiler von 12, aber kein Teiler von 2. Deshalb ist Ker(h)={1} und somit ist h injektiv und da [mm] D_{12} [/mm] und [mm] S_{4} [/mm] gleich viele Elemente haben, ist h ein Isomorphismus. Stimmt diese Folgerung?
Macht das alles überhaupt Sinn?
Bin für eure Hilfe sehr dankbar, da ich schon längers Mühe mit Isomorphismen habe...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:49 Fr 10.02.2012 | | Autor: | hippias |
> Ist [mm]D_{12}[/mm] zu einer Gruppe [mm]S_{n}[/mm] von Permutation von n
> Elementen isomorph für geeignetes n?
> Hallo zusammen
>
> Meine Idee wäre, dass ich n=4 wähle, denn so haben die
> beiden Gruppen gleich viele Elemente. Um einen
> Isomorphismus zu zeigen, muss ich noch einen Homomorphismus
> h definieren, wobei h injektiv sein muss (und aus der
> gleiche Gruppenordnung folgt dann bijektivität), also
> Ker(h)={1} gelten muss.
Richtig.
>
> Definiere ich h wie folgt:
> [mm]h(x^{i}y^{j})=s^{i},[/mm] wobei [mm]x^{i}y^{j}[/mm] die Elemente von
> [mm]D_{12}[/mm] repräsentieren und [mm]s^{i}[/mm] die Elemente von [mm]S_{4}.[/mm]
Das mit den [mm] $s^{i}$ [/mm] verstehe ich nicht. Was meinst Du hier mit repraesentieren? Im Uebrigen ist Deine Funktion wohl nicht injektiv, denn [mm] $h(x^{1}y^{j})= s^{1}$ [/mm] fuer alle $j$.
Beachte, dass $h$ auch ein Homomorphismus sein muss, die Bijektivitaet allein reicht nicht aus.
>
> Dann gilt für i=12, also [mm]x^{12}=1[/mm] und für j=2, also
> [mm]y^{2}=1.[/mm]
> [mm]z^{i}=1[/mm] gilt für i=4.
>
> Meine Folgerung daraus: i=4 ist ein Teiler von 12, aber
> kein Teiler von 2. Deshalb ist Ker(h)={1} und somit ist h
> injektiv und da [mm]D_{12}[/mm] und [mm]S_{4}[/mm] gleich viele Elemente
> haben, ist h ein Isomorphismus. Stimmt diese Folgerung?
>
> Macht das alles überhaupt Sinn?
>
> Bin für eure Hilfe sehr dankbar, da ich schon längers
> Mühe mit Isomorphismen habe...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Alternativ kannst Du Dir auch eine Menge von $4$ Elementen ueberlegen, auf der [mm] $D_{12}$ [/mm] treu operiert. Beliebte Kandidaten dafuer sind Nebenklassen von Untergruppen - also in unserem Falle eine Untergruppe mit Index $4$ - oder Mengen von Sylowgruppen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Fr 10.02.2012 | | Autor: | Glog |
Oh nein, mit [mm] s^{i} [/mm] habe ich die Elemente einer zyklischen Gruppe beschrieben (habe das so gemeint, z.B. für [mm] Z_{3}= [/mm] {1, [mm] s^{1}, s^{2} [/mm] } ).
Aber eigentlich sollte es ja folgendes heissen:
[mm] S_{4} [/mm] = Alle Permutationen der Elemente { 1, 2, 3, 4 }
Hmm, ich sehe leider noch nicht ganz, wie ich denn diesen Homomorphismus jetzt definieren muss? Also klar, es sollte gelten h(xy)=h(x)h(y), x,y [mm] \in D_{12}, [/mm] wobei h: [mm] D_{12} [/mm] -> [mm] S_{n}
[/mm]
Kannst du mir einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Fr 10.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Oh nein, mit [mm]s^{i}[/mm] habe ich die Elemente einer zyklischen
> Gruppe beschrieben (habe das so gemeint, z.B. für [mm]Z_{3}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> {1, [mm]s^{1}, s^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ).
>
> Aber eigentlich sollte es ja folgendes heissen:
> [mm]S_{4}[/mm] = Alle Permutationen der Elemente { 1, 2, 3, 4 }
>
> Hmm, ich sehe leider noch nicht ganz, wie ich denn diesen
> Homomorphismus jetzt definieren muss? Also klar, es sollte
> gelten h(xy)=h(x)h(y), x,y [mm]\in D_{12},[/mm] wobei h: [mm]D_{12}[/mm] ->
> [mm]S_{n}[/mm]
>
> Kannst du mir einen Tipp geben?
Du koenntest eher zeigen, dass es einen solchen Isomorphismus nicht geben kann.
Schau dir mal die Ordnungen von Elementen in [mm] $D_{12}$ [/mm] an. Kannst du ein Element mit hoher Ordnung finden? Gibt es ein Element entsprechender Ordnung in [mm] $S_4$?
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Fr 10.02.2012 | | Autor: | Glog |
Ah so, ich suche in der falschen Richtung.
Also ich probiere es einfach Mal:
Da in [mm] D_{12} [/mm] gilt: [mm] x^{12}=1 [/mm] und [mm] y^{2}=1, [/mm] ist das Element [mm] x^{12}y^{2}=1 [/mm] das Element mit der höchsten Ordnung, nämlich mit Ordnung 12 (obwohl das Element [mm] x^{12}=1 [/mm] ist in [mm] D_{12} [/mm] ja auch ein Element und hat so ebenfalls Ordnung 12).
Zwischenfrage: Besteht ein Element aus "zwei Teilen" (hier x und y), zählt dann einfach der Teil mit der höheren Ordnung (hier [mm] x^{12}) [/mm] als Ordnung des Elementes und der andere Teil ist "vernachlässigbar" (hier [mm] y^{2})?
[/mm]
Da [mm] S_{4} [/mm] die Gruppe der Permutationen aus 4 Elementen ist und die Ordnung eines Elementes der Länge des Zykels entspricht (stimmt das?), also der längste Zykel ist derjenige, welcher alle 4 Elemente enthält, ist somit die höchste mögliche Ordnung eines Elementes in [mm] S_{4} [/mm] genau 4. Also [mm] s^{4}=1 [/mm] (ich muss den Zykel mit 4 Elementen 4 Mal hintereinander schreiben, um wieder den Ausgangszykel zu erhalten).
Somit existiert in [mm] D_{12} [/mm] mind. 1 Element, das in [mm] S_{4} [/mm] die Ordnung nicht teilt. Somit kann kein Ismorphismus zwischen diesen Gruppen bestehen.
War dein Tipp in etwa so gemeint?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 Sa 11.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ah so, ich suche in der falschen Richtung.
Genau.
> Also ich probiere es einfach Mal:
>
> Da in [mm]D_{12}[/mm] gilt: [mm]x^{12}=1[/mm] und [mm]y^{2}=1,[/mm] ist das Element
> [mm]x^{12}y^{2}=1[/mm] das Element mit der höchsten Ordnung,
> nämlich mit Ordnung 12
Nein. Das Element 1 hat Ordnung 1 und damit die niedrigste Ordnung.
Das Element $x$ selber hat Ordnung 12.
> (obwohl das Element [mm]x^{12}=1[/mm] ist in
> [mm]D_{12}[/mm] ja auch ein Element und hat so ebenfalls Ordnung
> 12).
Nein, 1 hat eben nicht Ordnung 12. $x$ hat Ordnung 12.
> Zwischenfrage: Besteht ein Element aus "zwei Teilen" (hier
> x und y), zählt dann einfach der Teil mit der höheren
> Ordnung (hier [mm]x^{12})[/mm] als Ordnung des Elementes und der
> andere Teil ist "vernachlässigbar" (hier [mm]y^{2})?[/mm]
Nein.
Die Ordnung ist die kleinste positive Potenz [mm] $g^i$ [/mm] von einem Element $g$ mit [mm] $g^i [/mm] = e$ (wobei $e$ das neutrale Element ist, du schreibst dafuer 1).
Mit $g = [mm] x^a y^b$ [/mm] ist etwa [mm] $g^2 [/mm] = [mm] x^a y^b x^a y^b$.
[/mm]
Du musst das jetzt mit den Rechenregeln fuer $x$ und $y$ (es gilt nicht $x y = y x$) wieder in eine andere Darstellung bringen (wie [mm] $x^c y^d$). [/mm] Und dann schauen, ob es gleich 1 ist.
> Da [mm]S_{4}[/mm] die Gruppe der Permutationen aus 4 Elementen ist
> und die Ordnung eines Elementes der Länge des Zykels
> entspricht (stimmt das?),
Nein.
> also der längste Zykel ist derjenige, welcher alle 4 Elemente enthält, ist somit die
> höchste mögliche Ordnung eines Elementes in [mm]S_{4}[/mm] genau
> 4.
Das stimmt sogar, aber es folgt nicht aus dem Argument welches du oben erwaehnt hast.
> Somit existiert in [mm]D_{12}[/mm] mind. 1 Element, das in [mm]S_{4}[/mm] die
> Ordnung nicht teilt. Somit kann kein Ismorphismus zwischen
> diesen Gruppen bestehen.
>
> War dein Tipp in etwa so gemeint?
Ja.
Nur musst du dir mal genauer anschauen, was die Ordnung eigentlich ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Glog |
Hallo Felixf
Oje, da hab ich mal so richtig daneben gegriffen.
Nun mit der 1 habe ich eigentlich das neutrale Element gemeint. Werde ab jetzt einfach "e" nehmen.
In Wikipedia habe ich gelesen, dass die Ordnung der Elemente die Ordnung der Gruppe teilen muss. Da [mm] D_{12} [/mm] die Ordnung 24 hat, können meine Elemente nur 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24 als Ordnung haben. (Gilt für endliche Gruppen)
Ah okay, eigentlich ist es egal, aus wie vielen "Teilen" ein Element besteht, denn ich reihe dieses Element so oft hintereinander, bis es nach den geltenden Rechenregeln in dieser Gruppe das neutrale Element gibt. in [mm] D_{12} [/mm] wäre das [mm] x^{12}=e, y^{2}=e [/mm] und [mm] yxy=x^{-1}, [/mm] also yxyx=e.
Also Beispiel: Will ich die Ordnung von [mm] x^{11}y [/mm] bestimmen, dann müsste ich das wie folgt rechnen: [mm] x^{11}yx^{11}y=x^{-1}yx^{-1}y=yxy*y*yxy*y=yxeyxe=yxyx=x^{-1}x=e [/mm] und somit hätte das Element [mm] x^{11}y [/mm] Ordnung 2?
Um einen Isomorphismus zwischen den Gruppen zu zeigen, muss ich zeigen, dass jedes Element aus der Ursprungsmenge die Ordnung des Elementes teilt, auf welches es abgebildet wird (sie teilen die Ordnung). Da kein Element mehrmals auf das gleiche Element abgebildet werden darf (sonst nicht bijektiv), müssen in beiden Mengen die gleiche Anzahl an Elementordnungen vorkommen. Will ich zeigen, dass kein Isomorphismus existiert, dann reicht es zu zeigen, dass ein Element eine Ordnung besitzt, die in der Zielmenge nicht existiert (oder umgekehrt).
Hoffe ich habe einmal was richtiges hingeschrieben :)
Nun ist das ganze aber jenach Ordnung der Gruppe ein wenig aufwendig. Gibt es einen einfacheren Weg?
Dann noch eine Frage zu [mm] S_{4}. [/mm] Wie kann ich denn das argumentieren, dass die höchste Elementordnung in dieser Gruppe =4 ist?
Vielen Dank für deine Hilfe,
Liebe Grüsse
Glog
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:52 Mo 13.02.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo Felixf
>
> Oje, da hab ich mal so richtig daneben gegriffen.
>
> Nun mit der 1 habe ich eigentlich das neutrale Element
> gemeint. Werde ab jetzt einfach "e" nehmen.
>
> In Wikipedia habe ich gelesen, dass die Ordnung der
> Elemente die Ordnung der Gruppe teilen muss. Da [mm]D_{12}[/mm] die
> Ordnung 24 hat, können meine Elemente nur 1, 2, 3, 4, 6,
> 8, 12 und 24 als Ordnung haben. (Gilt für endliche
> Gruppen)
>
> Ah okay, eigentlich ist es egal, aus wie vielen "Teilen"
> ein Element besteht, denn ich reihe dieses Element so oft
> hintereinander, bis es nach den geltenden Rechenregeln in
> dieser Gruppe das neutrale Element gibt. in [mm]D_{12}[/mm] wäre
> das [mm]x^{12}=e, y^{2}=e[/mm] und [mm]yxy=x^{-1},[/mm] also yxyx=e.
>
> Also Beispiel: Will ich die Ordnung von [mm]x^{11}y[/mm] bestimmen,
> dann müsste ich das wie folgt rechnen:
> [mm]x^{11}yx^{11}y=x^{-1}yx^{-1}y=yxy*y*yxy*y=yxeyxe=yxyx=x^{-1}x=e[/mm]
> und somit hätte das Element [mm]x^{11}y[/mm] Ordnung 2?
Richtig.
>
> Um einen Isomorphismus zwischen den Gruppen zu zeigen, muss
> ich zeigen, dass jedes Element aus der Ursprungsmenge die
> Ordnung des Elementes teilt, auf welches es abgebildet wird
> (sie teilen die Ordnung).
Das ist aber nur notwendig, nicht hinreichend. Beim Isomorphismus sind die Ordnungen sogar gleich.
> Da kein Element mehrmals auf das
> gleiche Element abgebildet werden darf (sonst nicht
> bijektiv), müssen in beiden Mengen die gleiche Anzahl an
> Elementordnungen vorkommen.
Richtig; ist auch nur notwendig.
> Will ich zeigen, dass kein
> Isomorphismus existiert, dann reicht es zu zeigen, dass ein
> Element eine Ordnung besitzt, die in der Zielmenge nicht
> existiert (oder umgekehrt).
Richtig.
>
> Hoffe ich habe einmal was richtiges hingeschrieben :)
>
> Nun ist das ganze aber jenach Ordnung der Gruppe ein wenig
> aufwendig. Gibt es einen einfacheren Weg?
Das haengt von der Gruppe ab. Ein allgemeines Verfahren um den Isomorphietyp einer Gruppe festzustellen ist nicht bekannt.
>
> Dann noch eine Frage zu [mm]S_{4}.[/mm] Wie kann ich denn das
> argumentieren, dass die höchste Elementordnung in dieser
> Gruppe =4 ist?
Ich wuerde ueber die Anzahl der Fixpunkte argumentieren oder aequivalent ueber die Zykeldarstellung.
>
> Vielen Dank für deine Hilfe,
> Liebe Grüsse
> Glog
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Glog |
Hallo hippias
Danke für deine Antwort!
Also in dem Fall habe ich alles nur notwendige, aber keine hinreichenden Bedingungen beschrieben? Was fehlt mir denn noch konkret?
Bis jetzt würde ich einen Isomorphismus wie folgt zeigen:
Ich würde eine Tabelle machen, in dem ich die Elemente meiner Ursprungsmenge ihren Ordnungen zuordnen würde. Würde ich das gleiche mit meiner Zielmenge machen und wären dann die Anzahl an Elementen bei den jeweiligen Ordnungen gleich, wäre das ein Isomorphismus. Natürlich würde ich auch noch zeigen, dass beide Gruppen die gleiche Ordnung haben.
Dann hätte ich noch etwas:
Muss ich den Homomorphismus noch konkret beschreiben? Wie würde das konkret bei z.B. [mm] Z/2ZxD_{3} [/mm] -> [mm] D_{6} [/mm] aussehen? Die Bedingungen für einen Homomorphismus sind mir bekannt. Ein Beispiel würde mir aber sehr helfen, damit ich es einmal gesehen habe. Also ich meine das so, dass ich dann h(k, [mm] x^{i}y^{j}) [/mm] = ???, [mm] k\in [/mm] Z/2Z aufschreiben könnte.
Noch zu [mm] S_{4}: [/mm] Kann ich in diesem Fall so argumentieren, dass die maximale Anzahl an Fixpunkten in dieser Gruppe =4 ist, ist die höchste Ordnung eines Elementes in dieser Gruppe =4.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Di 14.02.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo hippias
>
> Danke für deine Antwort!
>
> Also in dem Fall habe ich alles nur notwendige, aber keine
> hinreichenden Bedingungen beschrieben? Was fehlt mir denn
> noch konkret?
>
> Bis jetzt würde ich einen Isomorphismus wie folgt zeigen:
> Ich würde eine Tabelle machen, in dem ich die Elemente
> meiner Ursprungsmenge ihren Ordnungen zuordnen würde.
> Würde ich das gleiche mit meiner Zielmenge machen und
> wären dann die Anzahl an Elementen bei den jeweiligen
> Ordnungen gleich, wäre das ein Isomorphismus. Natürlich
> würde ich auch noch zeigen, dass beide Gruppen die gleiche
> Ordnung haben.
Ein Isomorphismus ist eine Abbildung mit ganz bestimmten Eigenschaften. Es kann nichtisomorphe Gruppen geben, deren Elementordnungen und Anzahlen uebereinstimmen, weshalb Deine Kriterien nicht hinreichend fuer die Existenz eines Isomorphismus sind.
>
> Dann hätte ich noch etwas:
> Muss ich den Homomorphismus noch konkret beschreiben? Wie
> würde das konkret bei z.B. [mm]Z/2ZxD_{3}[/mm] -> [mm]D_{6}[/mm] aussehen?
> Die Bedingungen für einen Homomorphismus sind mir bekannt.
> Ein Beispiel würde mir aber sehr helfen, damit ich es
> einmal gesehen habe. Also ich meine das so, dass ich dann
> h(k, [mm]x^{i}y^{j})[/mm] = ???, [mm]k\in[/mm] Z/2Z aufschreiben könnte.
Ich verstehe die Frage nicht so recht: Seien [mm] $a,b\in D_{3}$ [/mm] mit $o(b)= 3$, $o(a)= 2$ und [mm] $b^{a}= b^{-1}$. [/mm] Seien [mm] $x,y\in D_{6}$ [/mm] mit $o(y)= 6$, $o(x)= 2$ und [mm] $y^{x}= y^{-1}$. [/mm] Dann muesste [mm] $(k,a^{i}b^{j})\mapsto x^{i}y^{3k}y^{2j}$ [/mm] ein Isomorphismus sein.
>
> Noch zu [mm]S_{4}:[/mm] Kann ich in diesem Fall so argumentieren,
> dass die maximale Anzahl an Fixpunkten in dieser Gruppe =4
> ist, ist die höchste Ordnung eines Elementes in dieser
> Gruppe =4.
Wenn ich das richtig verstehe, dann lautet die Antwort wohl "Nein": In der [mm] $S_{5}$ [/mm] hat $(12)(345)$ die Ordnung $6$. Mache es so: Sei [mm] $\alpha\in S_{4}$. [/mm] Hat [mm] $\alpha$ [/mm] keinen Fixpunkt, so ist [mm] $\alpha$ [/mm] ein $4$-Zykel oder Produkt zweier $2$-Zykel,d.h. [mm] $o(\alpha)= [/mm] 2$ oder $=4$. Hat [mm] $\alpha$ [/mm] genau $1$ Fixpunkt, so ist [mm] $\alpha$ [/mm] ein $3$-Zykel etc.
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