Isomorphismus Differential < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass die stereographischen Projektionen einen Atlas auf [mm] S^n [/mm] bilden, und berechne den Kartenübergang. |
Hallo allerseits.
Wir haben die stereog. Proj.:
[mm] P_N(x)=\bruch{(x_1, ..., x_n)}{1-x_{n+1}}
[/mm]
[mm] P_S(x)=\bruch{(x_1, ..., x_n)}{1+x_{n+1}}
[/mm]
sowie:
[mm] P_N^{-1}(x)=\bruch{(2x_1, ..., 2x_n, ||x||²-1)}{1+||x||²}
[/mm]
[mm] P_S^{-1}(x)=\bruch{(2x_1, ..., 2x_n, 1-||x||²)}{1+||x||²}
[/mm]
Ich würde gerne zeigen, dass [mm] P_N^{-1}, P_S^{-1} [/mm] Parametrisierungen und damit Einbettungen sind. Dazu muss ich u.a. zeigen, dass [mm] dP_N^{-1} [/mm] ein Isomorphismus ist, was ich nicht schaffe. Wir hatten in einem Übungsblatt davor eine Aufg., in der man zeigen sollte, dass die Abbildung [mm] f(x)=\bruch{x}{1-||x||²}, x\in B_1(0)\subset\IR^n [/mm] ein [mm] C^{\infty}- [/mm] Diffeomorphismus ist, was ja äquivalent dazu ist, dass df ein lokaler Isomorphismus ist.
Die Abbildungen ähneln sich ja sehr. Ich habe es zwar da auch nicht geschafft zu zeigen, dass df ein Isomorphismus ist, aber ich kann es ja jetzt trotzdem benutzen. Die Frage ist, kann ich aus der Tatsache, dass df ein Isomorphismus ist, folgern, dass [mm] dP_N^{-1} [/mm] ein Isomorphismus ist? Die Abbildungen unterscheiden sich ja nur in der letzten Komponente. Ich weiß sonst nicht weiter..
Danke für Hilfe,
Kulli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 29.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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