Isomorphismus in R^2 < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei folgender Isomorphismus:
[mm] $\sigma: \IR^2 \rightarrow \IR^2 [/mm] , [mm] (\lambda_1, \lambda_2) \mapsto (\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] , [mm] \lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda_2)$.
[/mm]
Berechnen Sie die Umkehrfunktion [mm] $\sigma^{-1}$. [/mm] |
Hallo liebes Forum,
Zu der o.g. "Aufgabe" (es ist nur ein Problem meinerseits in Aufgabenform  ) habe ich mir überlegt, daß [mm] $\sigma^{-1}$ [/mm] wie folgt aussieht:
[mm] $\sigma^{-1}: \IR^2 \rightarrow \IR^2 [/mm] , [mm] (\lambda_1, \lambda_2) \mapsto (\frac{\lambda_1 + \lambda_2}{2} [/mm] , [mm] \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2})$.
[/mm]
Überlegt habe ich es mir aber nur an Beispielwerten (also schlecht):
[mm] $\sigma(7,3) [/mm] = (10,4)$ und [mm] $\sigma^{-1}(10,4) [/mm] = (7,3)$,
[mm] $\sigma(2,3) [/mm] = (5,-1)$ und [mm] $\sigma^{-1}(5,-1) [/mm] = (2,3)$,
... usw.
Frage: Wie rechne ich die Umkehrfunktion "allgemein" aus (ohne Beispielwerte)? Was mache ich z.B. im Fall [mm] $\sigma [/mm] : [mm] \IR^4 \rightarrow \IR^5$ [/mm] ?
Muß ich dazu ein Gleichungssystem aufstellen?
Momentan sehe ich vermutlich den Wald vor lauter Bäumen nicht, darum wäre ich Euch für eine Hilfe super dankbar !!! (Prima wäre, falls jemand mir den allgemeinen Rechenweg am Beispiel erklären könnte) 
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Hallo
am besten stellst du den Isomorphismus durch eine Matrix (bzgl. der kanonischen Basis) dar. Dann wird die Umkehrabbildung durch die inverse Matrix dargestellt. In deinem Beispiel:
[mm] \sigma(\vektor{1 \\0})=\vektor{1 \\1}
[/mm]
[mm] \sigma(\vektor{0 \\ 1})=\vektor{1 \\ -1}
[/mm]
Also wird [mm] \sigma [/mm] durch die Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 } [/mm] dargestellt.
[mm] \sigma^{-1} [/mm] wird also durch [mm] A^{-1}=\bruch{1}{2}\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 } [/mm] dargestellt.
Da [mm] \bruch{1}{2}\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 } \vektor{\lambda_1 \\\lambda_2}=\bruch{1}{2}\vektor{\lambda_1 +\lambda_2\\\lambda_1-\lambda_2} [/mm] ist hat [mm] \sigma^{-1} [/mm] die von dir angegebene Form.
> Was mache ich z.B. im Fall [mm]\sigma : \IR^4 \rightarrow \IR^5[/mm]
Da brauchst du dir keine Sorgen machen, denn hier gibt es keinen Isomorphismus (Dimensionsgründe!). Bei gleichdimensionalen, höheren Vektorräumen kann obige Methode angewendet werden.
Gruß korbinian
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