Ist der Satz wahr? < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 So 03.07.2011 | | Autor: | Flamy |
| Aufgabe | | Ist der Satz [mm] $\forall x:\exists [/mm] x: [mm] \exists [/mm] y: [mm] \forall [/mm] y: x=y$ wahr? Begründen Sie. |
Hallo!
Ich habe mir die Aufgabe angeschaut und mir folgendes überlegt. Quantoren gelten ja nur solange bis sie durch einen anderen Quantor mit gleicher Variable aufgehoben werden(Ist das richtig?). In diesem Fall steht ja dort nur noch [mm] $\exists [/mm] x: [mm] \forall [/mm] y: x=y$.
Ich habe mir jetzt überlegt, dass der Satz vermutlich falsch ist, da der Satz für alle y gelten soll aber nur für "einige" x gilt. Durch die Bedingung x=y kommt es dann zu einem Widerspruch da x=y dann eben nicht immer gilt.
Ist das von mir richtig gedacht?
Vielen Dank im Voraus!
Jan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 So 03.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Jan!
> Ist der Satz [mm]\forall x:\exists x: \exists y: \forall y: x=y[/mm]
> wahr? Begründen Sie.
>
> Ich habe mir die Aufgabe angeschaut und mir folgendes
> überlegt. Quantoren gelten ja nur solange bis sie durch
> einen anderen Quantor mit gleicher Variable aufgehoben
> werden(Ist das richtig?).
Ja.
> In diesem Fall steht ja dort nur
> noch [mm]\exists x: \forall y: x=y[/mm].
Nicht ganz. Es kann naemlich sein, dass es gar kein $x$ gibt. Dann waer [mm] $\forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] x : P(x)$ trotzdem wahr, da [mm] $\forall [/mm] x : Q(x)$ dann fuer alle Aussagen $Q$ stimmt. Jedoch ist [mm] $\exists [/mm] x : P(x)$ fuer alle Aussagen $P$ falsch.
> Ich habe mir jetzt überlegt, dass der Satz vermutlich
> falsch ist, da der Satz für alle y gelten soll aber nur
Das haengt davon ab, wieviele $y$ es gibt  Wenn es nur ein einziges gibt -- und zwar $x$ -- dann ist das wahr.
Andernfalls ist es falsch.
Es haengt also ganz davon ab, wie das Modell aussieht in dem du gerade bist. Ob es kein, genau ein, oder mehr als ein Objekt gibt.
LG Felix
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> > Ist der Satz [mm]\forall x:\exists x: \exists y: \forall y: x=y[/mm]
> > wahr? Begründen Sie.
> >
> > Ich habe mir die Aufgabe angeschaut und mir folgendes
> > überlegt. Quantoren gelten ja nur solange bis sie durch
> > einen anderen Quantor mit gleicher Variable aufgehoben
> > werden(Ist das richtig?).
>
> Ja.
>
> > In diesem Fall steht ja dort nur
> > noch [mm]\exists x: \forall y: x=y[/mm].
Kleine Zwischenfrage:
wie geht das genau mit Quantoren, die sich aufheben ?
vielleicht mit ein paar Beispielen ...
und eine weitere Frage: ist es wirklich sinnvoll, eine
Sequenz von Quantoren einfach aneinanderzureihen
ohne Beklammerung ? Oder: wie müsste man eine
unbeklammerte Quantorensequenz beklammern, wenn
man sie verdeutlichen (aber nicht verfälschen) will ?
LG Al
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Vielen Dank, Felix, für die Erläuterungen !
> Der Ausdruck
(A) : [mm]\forall x \exists x \exists y \forall y : x = y[/mm]
> aus diesem Thread bedeutet
(B) : [mm]\forall x_1 \exists x_2 \exists y_1 \forall y_2 : x_2 = y_2[/mm].
>
> Sowas sollte man aber (genau wie in C++) normalerweise
> nicht schreiben, um Verwirrungen vorzubeugen 
Da meinst du sicher, man solle solch verwirrende
Ausdrücke wie (A) vermeiden und stattdessen
unterschiedliche (z.B. indizierte) Quantorenvariablen
verwenden wie in (B).
Dem kann ich nur vehement beipflichten, denn ich
hasse es, wenn gewisse Leute Mathematik (für viele
ein ohnehin schwieriges Fach) durch skurrile Bezeich-
nungsweisen noch um einen Zacken undurchschaubarer
machen (wollen ?) ...
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 So 03.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Vielen Dank, Felix, für die Erläuterungen !
>
> > Der Ausdruck
>
> (A) : [mm]\forall x \exists x \exists y \forall y : x = y[/mm]
>
> > aus diesem Thread bedeutet
>
> (B) : [mm]\forall x_1 \exists x_2 \exists y_1 \forall y_2 : x_2 = y_2[/mm].
>
> >
> > Sowas sollte man aber (genau wie in C++) normalerweise
> > nicht schreiben, um Verwirrungen vorzubeugen
>
> Da meinst du sicher, man solle solch verwirrende
> Ausdrücke wie (A) vermeiden und stattdessen
> unterschiedliche (z.B. indizierte) Quantorenvariablen
> verwenden wie in (B).
Genau. Oder anstelle [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] dann $x$ und $x'$ oder $x$ und [mm] $\hat{x}$ [/mm] oder $x$ und $a$ oder was auch immer schreiben :)
> Dem kann ich nur vehement beipflichten, denn ich
> hasse es, wenn gewisse Leute Mathematik (für viele
> ein ohnehin schwieriges Fach) durch skurrile Bezeich-
> nungsweisen noch um einen Zacken undurchschaubarer
> machen (wollen ?) ...
Ich denke es ist schon wichtig, dass man weiss, wie man solche Ausdruecke interpretieren muss. Deswegen sollten ein paar Aufgaben dieser Form nicht fehlen. Abgesehen davon sollte man das aber wirklich vermeiden.
Das ist aehnlich wie beim Programmieren lernen, da bekommt man auch oft Haufen von (moeglichst ungeklammerten) Ausdruecken und soll sich ueberlegen, wie der Compiler das interpretiert. Und den Ratschlag sowas bitte nicht in der Praxis zu machen.
LG Felix
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