Ist diese Funktion bijektiv? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe folgende Aufgabe bekommen und bin mir nicht sicher ob mein Lösungsansatz richtig ist :(
Gegeben ist die Funktion :
f :R / { o } --> R , f (x) : = 2 -x / 4 - x2 für x größer 2
f (x) : = 5 / x2 ( 1+ x2 ) für x kleiner und gleich 2, x ungleich null
Die Frage ist nun: Ist die Funktion bijektiv ? surjektiv oder injektiv??
Ich habe mir bei der zweiten funktion gedacht, dass sie NICHT injektiv sein kann, da ich für 1 und -1 gleiche Wete rausbekomme.
aber ist das so richtig??? und mit der ersten funktion weiß ich überhaupt nicht wie ich loslegen soll :( bitte helft mir!!!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.matheboard.de
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Nein, die Funktion ist nicht bijektiv, da sie weder injektiv noch surjektiv ist.
Dein Gedanke zur Injektivität ist schon richtig, du musst ihn nur noch formalisieren, indem du dir x,y [mm] \in \IR \{0} [/mm] nimmst und dir anschaust, was passiert, wenn f(x) und f(y) gleich sind. Dabei ist für dich besonders der bereich zwischen -2 und 2 interessant.
Die surjektivität beweist du mit einem Gegenbeispiel. Setze 0=y [mm] \in \IR. [/mm]
Da in der Aufgabenstellung steht, dass die Funktion von [mm] \IR [/mm] \ {0} nach [mm] \IR [/mm] geht, müsstest du bei Surjektivität ein x [mm] \in \IR [/mm] \ {0} finden, mit f(x)=y
Findest du aber nicht, also ist y [mm] \not\in [/mm] Bild(f), also gilt Bild(f) [mm] \not=\IR.
[/mm]
Hoffe, ich konnte helfen,
San
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Do 05.05.2005 | | Autor: | rotespinne |
Leider blicke ich da immernoch nicht so ganz durch :( wieso ist der bereich zwischen -2 und 2 für mich am interessantesten??
sind denn nun beide funktionen? surjektiv? oder die eine injektiv? ich komme da ganz durcheinander! :(
Ich weiß überhaupt nicht wie ich so eine aufgabe angehen muss. womit ich am besten anfange ect? bitte hilf mir !!! DANKE
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Do 05.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Das ganze ist EINE Funktion. Schau doch auf den Definitionsbereich. Die Funktion geht von [mm] \IR [/mm] \ {0} nach [mm] \IR.
[/mm]
bloß, das du sie dir aus zwei Teilen "zusammengeschustert hast", indem du definierst, wie sie im Bereich für x>2 und wie für den Rest verläuft. Also kann die Funktion nur als Ganzes Injektiv oder Surjektiv sein.
Zur Überprüfung der Injektivität nimmst du dir zwei Elemente aus dem Definitionsbereich heraus mit f(x)=f(y). Dann musst du damit zeigen, dass schon gilt x=y. Damit hast du deinen Beweis erbracht, dass die Funktion injektiv ist.
Hier wird dir das aber nicht gelingen, weil f eben NICHT injektiv ist. Alles was du dann zu tun brauchst, ist ein Gegenbeispiel zu liefern. Um eines zu finden betrachtest du am besten die Gleichung f(x)=f(y) für [mm] x\le2.
[/mm]
Das ergibt [mm] \bruch{5}{2x(1+2x})= \bruch{5}{2y(1+2y})
[/mm]
Das kannst du soweit umformen, bis du stehen hast [mm] 2x^{2}-2y^{2}+x-y=0
[/mm]
Der Fall x=y ist klar, aber es gibt noch eine andere Lösung für die Gleichung, die du mit Polynomdivision herausbekommst. Alle x,y für die gilt: [mm] x=-y-\bruch{1}{2}.
[/mm]
Nimm dir zwei Elemente, zeige, dass die Lösungen gleich sind und du hast die nicht vorhandene Injektivität mit einem Gegenbeispiel bewiesen.
Gruß, San
PS: Habe mich oben geirrt, wegen des Bereichs -2 bis 2. Es ist -2,5 bis 2 (weil du dort deine Gegenbeispiele findest)
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