Iterationsverfahren < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Do 29.10.2009 | | Autor: | Sanny |
Hallo,
die Aufgabe lautet: "Überlegen Sie sich ein Iterationsschema, mit dem Sie [mm] \wurzel{3} [/mm] näherungsweise beliebig genau berechnen können."
Ich habe mir jetzt folgende Formel rausgesucht:
[mm] x_{S} [/mm] = [mm] x_{1} [/mm] - [mm] f(x_{1}) \bruch{x_{1} - x_{2}}{f(x_{2}) - f(x_{1})}
[/mm]
Aber ich habe keeeeeeeeeeeeine Ahnung, was ich da einsetzen soll, bzw. wie ich überhaupt anfangen soll...
Kann mir vielleicht jemand einen Ansatz geben?!
Liebe Grüße
Sanny
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Do 29.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Sanny
> die Aufgabe lautet: "Überlegen Sie sich ein
> Iterationsschema, mit dem Sie [mm]\wurzel{3}[/mm] näherungsweise
> beliebig genau berechnen können."
>
> Ich habe mir jetzt folgende Formel rausgesucht:
>
> [mm]x_{S}[/mm] = [mm]x_{1}[/mm] - [mm]f(x_{1}) \bruch{x_{1} - x_{2}}{f(x_{2}) - f(x_{1})}[/mm]
>
> Aber ich habe keeeeeeeeeeeeine Ahnung, was ich da einsetzen
> soll, bzw. wie ich überhaupt anfangen soll...
Na, da wo du die Formel herhast wird doch stehen was sie tut. Schreib das doch erstmal hier hin. Und dann ueberleg dir, wie du $f$ waehlen musst, damit das ganze gegen [mm] $\sqrt{3}$ [/mm] konvergiert.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Do 29.10.2009 | | Autor: | Sanny |
Aber das versteh ich ja nich :(
|
|
|
| |
|
Hallo Sanny,
ein Iterationsverfahren macht in dem Fall nur bei Funktionen Sinn. Also müsstest du versuchen aus deiner Aufgabenstellung erstmal eine Funktion zu "basteln". Wenn du die noch so basteln könntest, dass sie eine Nullstelle bei [mm] (x=\wurzel{3}) [/mm] hat, dann kannst du dein Verfahren benutzen.
Ein anderes Verfahren zur Nullstellenbestimmung ist das Newton-Verfahren.
Da gilt: [mm] x_{n+1}=x_n [/mm] - [mm] \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
[/mm]
Deine Aufgabe ist es jetzt nur noch eine geeignete Funktion zu finden, die besagte Nullstelle hat, dann deren Ableitung bilden und einen Startwert festzulegen [mm] (x_0).
[/mm]
Beispiel für [mm] \wurzel{2}:
[/mm]
[mm] f(x)=x^2-2 [/mm] Die Nullstellen sind bei [mm] \pm \wurzel{2}
[/mm]
[mm] \(f'(x)=2x\)
[/mm]
[mm] x_0=1
[/mm]
Daraus folgt für [mm] x_1:
[/mm]
[mm] x_1=x_0- \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}
[/mm]
[mm] x_1=1- \frac{-1}{2}=1,5
[/mm]
Diesen Wert benutzt man nun für die Bestimmung von [mm] x_2 [/mm] - deswegen der Name Iteration.
Der Vorteil vom Newton-Verfahren ist, dass man nur einen Startwert braucht. Nachteil ist natürlich, dass man die Ableitung kennen muss.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte und du nun deine Aufgabe lösen kannst.
Mit freundlichen Grüßen,
pi-roland.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Do 29.10.2009 | | Autor: | Sanny |
Jaaaaa, vielen Danke, ich habs verstanden :)
|
|
|
|
