Iterative Verfahren für LGS < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:23 Mi 05.08.2009 | | Autor: | tynia |
| Aufgabe | Zur näherungsweisen Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b mit
[mm] A=\begin{pmatrix}
1 & -2 & 2 \\
-1 & 1 & -1 \\
-2 & -2 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] b=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
führen Sie jeweils drei Schritte des mit w = 0.5 relaxierten Gesamt- bzw. Einzelschrittverfahrens ausgehend von [mm] x_{0} [/mm] = (1, 0, [mm] 0)^{T} [/mm] aus. Konvergieren die Folgen der so erzeugten Iterierten gegen die exakte Lösung? |
Hallo. ich habe diese Aufgabe für das Gesamtschrittverfahren (Jacobi) durchgeführt, was auch geklappt hat. Irgendwie kriege ich das mit dem Einzelschrittverfahren (Gauß-Seidel) nicht hin. Vielleicht kann mir jemand sagen, was ich falsch mache. Ich schreibe mal meine Lösung hin. Damit man versteht, welche Formeln ich verwendet habe, habe ich die wichtigsten als Bild beigefügt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gesamtschrittverfahren (Jacobi)
Erstmal habe ich also die Matrix [mm] M_{J} [/mm] bestimmt:
[mm] A=D+L+U=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 \\4 & 4 & 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 1 & 4 \\0 & 0 & -4 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}
[/mm]
Ax=b [mm] \gdw [/mm] (D+L+U)x=b [mm] \gdw [/mm] Dx=b-(L+U)x [mm] \gdw [/mm] x = [mm] D^{-1}( [/mm] b -(L+U) x ) = [mm] -D^{-1}(L+U) [/mm] x + [mm] D^{-1} [/mm] b
[mm] -D^{-1}(L+U) [/mm] ist meine gesuchte Matrix:
[mm] D^{-1}=\begin{pmatrix}0.5 & 0 & 0 \\0 & 0.5 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] (L+U)=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 \\4 & 4 & 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 1 & 4 \\0 & 0 & -4 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 4 \\1 & 0 & -4 \\4 & 4 & 0\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] -D^{-1}(L+U)=\begin{pmatrix}-0.5 & 0 & 0 \\0 & -0.5 & 0 \\0 & 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 & 4 \\1 & 0 & -4 \\4 & 4 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -0.5 & -2 \\-0.5 & 0 & 2 \\-4 & -4 & 0\end{pmatrix}=M_{J}
[/mm]
det [mm] |M_{J}|=\lambda(-\lambda^{2}+0,25)=0 [/mm]
[mm] \lambda_{1}=0
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=0.5
[/mm]
[mm] \lambda_{3}=-0.5
[/mm]
Eigenwert von [mm] M_{J}= w\lambda_{i}+(1-w). [/mm] Da alle [mm] \lambda [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0,5*0+(1-0,5)=0,5
Da der betragsmäßig größte Eigenwert, also 0.5 < 1 ist, konvergiert das Verfahren.
[mm] M_{J}^{(w)}=(1-w)E+wM_{J}=(1-0,5)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}+0,5\begin{pmatrix}0 & -0.5 & -2 \\-0.5 & 0 & 2 \\-4 & -4 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.5 & 1 & -1 \\0.5 & 0.5 & 0.5 \\1 & 1 & 0.5\end{pmatrix}
[/mm]
c = [mm] wN^{-1} [/mm] b
[mm] N=\bruch{1}{w}D= 2\begin{pmatrix}0.5 & 0 & 0 \\0 & 0.5 & 0 \\0 & 0 & 0.5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}=N^{-1}
[/mm]
[mm] wN^{-1} [/mm] b [mm] =0.5\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -0,5 \\ 0,5 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] x_{0} [/mm] = (1, 0, [mm] 0)^{T}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] M_{J}^{(w)}x_{0}+ [/mm] c = [mm] \begin{pmatrix}0 & -0.5 & -2 \\-0.5 & 0 & 2 \\-4 & -4 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ -0,5 \\ 0,5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1.5 \\ 0 \\ 1,5 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] M_{J}^{(w)}x_{1}+ [/mm] c [mm] =\begin{pmatrix} 0,25 \\ 1 \\ 2,75 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] M_{J}^{(w)}x_{2}+ [/mm] c [mm] =\begin{pmatrix} -0,625 \\ 1,5 \\ 3,125 \end{pmatrix}
[/mm]
So. Fertig für Jacobi. Jetzt Gauß-Seidel:
Die Matrix [mm] M_{GS} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0 & 2 & -2 \\0 & 2 & -1 \\0 & 8 & -6\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] det|M_{GS}|=\lambda(\lambda^{2}+4\lambda-4)=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=0
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=0.828427124
[/mm]
[mm] \lambda_{3}=-4,828427125
[/mm]
Eigenwert von [mm] M_{GS}= w\lambda_{i}+(1-w) \Rightarrow
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=0,5
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=0.9142
[/mm]
[mm] \lambda_{3}=-1,91421
[/mm]
Da der betragsmäßig größte Eigenwert, also 1,91421 > 1 ist, konvergiert das Verfahren nicht.
Muss ich jetzt überhaupt weiterrechnen? Ich habe in meiner Mitschrift nämlich irgendeine Lösung, aber ohne Rechenweg. Leider komme ich nicht da drauf. Vielleicht weiß hier jemand weiter.
Ich danke euch schonmal.
LG
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Fr 07.08.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Fr 07.08.2009 | | Autor: | tynia |
Hat wirklich keiner einen Tipp???
|
|
|
|
