Ito-Formel verstehen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:55 So 11.07.2010 | | Autor: | soulzz |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute, ich versuche mir zur Zeit, die Theorie um die Ito-Formel selbst beizubringen. Nur leider hakt es noch an ein paar Stellen.
Wir betrachten eine Ito-SDGL [mm] dX_{t}=f(t,X_{t})dt+g(t,X_{t})dW_{t} [/mm] mit Lösung [mm] X_{t} [/mm] und definiere [mm] Y_{t}=U(t,X_{t}), [/mm] wobei U eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist.
Dann gilt [mm] dY_{t}=L^{0}U(t,X_{t})dt+L^{1}(t,X_{t})dW_{t} [/mm] mit den Operatoren [mm] L^{0}U=\bruch{\partial U}{\partial t}+f\bruch{\partial U}{\partial x}+\bruch{1}{2}g^{2}\bruch{\partial^{2}U}{\partial x^{2}},~~~L^{1}U=g\bruch{\partial U}{\partial x}.
[/mm]
Ok, so hab ich mir das gemerkt. Wenn ich jetzt ein Beispiel rechne:
[mm] X_{t}=W_{t}^{2}-2t [/mm] löst [mm] dX_{t}=2\wurzel{X_{t}+2t}dW_{t}, [/mm] für [mm] X_{t}>-2t,
[/mm]
dann muss ich doch [mm] X_{t}=U(Y_{t},t)=Y_{t}^{2}-2t [/mm] wählen mit [mm] Y_{t}=W_{t}, [/mm] oder mache ich das falsch? Ich versteh einfach diesen ersten Schritt nicht so ganz richtig, auch die Wahl von f und g erschließt sich mir noch nicht so ganz.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 19.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:57 Di 20.07.2010 | | Autor: | dazivo |
Hallo
Vielleicht hilft es dir, wenn ich noch ein paar Komentare zu deinen Fragen (Insbesondere Ito-Formel-Geschichte) gebe obwohl die Frist schon abgelaufen ist!
Zunächst einmal, bevor du versuchst die Ito Formel zu verstehen, solltest du dich intensiv mit stochastischen Prozessen beschäftigen. Dies beinhaltet insbesondere: (stetige) lokale Martingale, (stetige) Semimartingale, (predictable) quadratische Variation, Brownsche Bewegung, Stoppzeiten, stochastische Integrale, und und und.
Eine (meiner Meinung nach) gute Lektüre zu dem Obigen (stetigen) Zeugs ist das Buch von Durett "Stochastic Calculus" oder ein etwas fortgeschrittenes Buch von Protter "Stochastic Differential Equations". Selbstverständlich ist die BIBEL über Stochastische Prozesse (nicht aber über SDGLen) "Probabilities and Potential A und B" von Dellacherie Meyer auch sehr empfehlenswert!
Warum das wichtig ist: Z.B: erstens, Du schreibst: "Sei X die Lösung von der Ito SDGL ..."
Was denn für eine Lösung? Eine starke oder eine schwache? Spielt für Berechnungen wie du sie machen willst eigentlich keine Rolle, sollte aber beachtet und gesagt werden!!
Zweitens, du schreibst
> Ok, so hab ich mir das gemerkt. Wenn ich jetzt ein Beispiel
> rechne:
>
> [mm]X_{t}=W_{t}^{2}-2t[/mm] löst
> [mm]dX_{t}=2\wurzel{X_{t}+2t}dW_{t},[/mm] für [mm]X_{t}>-2t,[/mm]
>
Wie kommst du eigentlich darauf , dass $X$ diese SDGL löst? Das stimmt nicht! Und was bedeutet [mm] $X_{t}>-2t$ [/mm] ? Meinst du damit, dass [mm] $X_t [/mm] $ immer grösser als $-2t$ ist? Das ist nämlich falsch (nach dem iteriertem Logarithmus Gesetz der Brownschen Bewegung!) und damit kann dein $X$ NICHT Lösung (schwach oder stark) dieser SDGL sein!
Als kleine Übung schlage ich vor du berechnest mal (via Ito Formel) [mm] $f(W_t)$ [/mm] mit $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] oder $f(x) = [mm] \frac{1}{1+x^2}$ [/mm] um mal zu sehen was da so passiert!
Grundsätzlich gebe ich dir den Tipp: Studiere die oben angegebene Literatur ein bisschen um auch wirklich zu verstehen was in der stochastischen Analysis so agbeht!
Ich hoffe, ich konnte dir behilflich sein
Gruss dazivo
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