Ito vs. Stratonovich < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:18 So 29.05.2005 | | Autor: | NY152 |
Hallo allerseits,
der Hauptunterschied zwischen diesen stochastischen Integralen liegt doch, in der Berechnung des stochastischen Integrals, d.h. die Auswertungsstelle liegt beim Ito Integral am linken Punkt des Intervalls, und beim Stratonovichen in der Mitte (Mittelpunkt des Intervalls), oder ?
Die Lösungen der SDE unterscheiden sich in der Regel. Es sei denn, die Drift wird modifiziert, oder ?
Nun meine Frage: Welches Drift muß dann modifiziert werden (Ito oder Stratonivich) ? Wie muß ich bei der Umrechnung vorgehen ? Gilt die Umrechnung in beide Richtungen, oder nur in eine ? Wenn ja, in welche ?
Danke im voraus.
Viele Grüße
Murat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Murat!
> der Hauptunterschied zwischen diesen stochastischen
> Integralen liegt doch, in der Berechnung des stochastischen
> Integrals, d.h. die Auswertungsstelle liegt beim Ito
> Integral am linken Punkt des Intervalls, und beim
> Stratonovichen in der Mitte (Mittelpunkt des Intervalls),
> oder ?
Das ist das typische Missverständnis, das mir schon häufiger begegnet ist. Nein, die Auswertungsstelle liegt beim Stratonovich-Integral nicht in der Mitte des Intervalls, sondern es wird das arithmetische Mittel der Auswertungen an den beiden Intervallgrenzen gebildet.
Genauer (trotzdem noch salopp):
Es sei $Y$ ein $m$-dimensionaler Diffusionsprozess mit Driftvektor $a(t,x)$ und Diffusionsmatrix $B(t,x)$, der den üblichen Bedingungen genüge. Sei weiter $H(t,x)$ ene $d [mm] \times [/mm] m$-matrixwertige Funktion (hinreichend oft differenzierbar), die den üblichen Integratibilitätsbedingunegn genüge. Dann heißt der Grenzwert
[mm] $(S)-\int_{t_0}^t H(s,Y_s)\, dY_2 [/mm] = [mm] {\cal L}_2-\lim\limits_{\delta_n \to 0} \sum\limits_{i=1}^n [/mm] H [mm] \left( t_{i-1}, \frac{Y_{t_{i-1}} + Y_{t_i}}{2} \right) (Y_{t_i} [/mm] - [mm] Y_{t_{i-1}})$,
[/mm]
wobei [mm] $t_0\le t_1 \le \ldots \le t_n=t$ [/mm] und [mm] $\delta_n=\max(t_i-t_{i-1})$, [/mm] das stochastische Integral im Sinne von Stratonovich.
> Die Lösungen der SDE unterscheiden sich in der Regel. Es
> sei denn, die Drift wird modifiziert, oder ?
Das Stratonovich-Integral hängt mit dem durch
[mm] $(I)-\int_{t_0}^t H(s,Y_s)\, dY_s [/mm] = [mm] {\cal L}_2-\lim\limits_{\delta_n \to 0} \sum\limits_{i=1}^n [/mm] H [mm] \left( t_{i-1}, Y_{t_{i-1}}\right) (Y_{t_i} [/mm] - [mm] Y_{t_{i-1}})$
[/mm]
definierten Itô-Integral wie folgt zusammen:
[mm] $(S)-\int_{t_0}^t H(s,Y_s)\, dY_s [/mm] = [mm] (I)-\int\limits_{t_0}^t H(s,Y_s)\, dY_s [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \sum\limits_{j=1}^m \sum\limits_{k=1}^m \int\limits_{t_0}^t \left(\frac{\partial H}{\partial x_k}(s,Y_s) \right)_{\cdot j} b_{jk}(s,Y_s)\, [/mm] ds$.
Hierbei ist der $d$-Vektor [mm] $\left(\frac{\partial H}{\partial x_k}(s,Y_s) \right)_{\cdot j}$ [/mm] die $j$-te Spalte der $d [mm] \times [/mm] m$-Matrix [mm] $\frac{\partial H_{ij}}{\partial x_k}$.
[/mm]
Für $d=m=1$ lautet die Umrechnungsformel:
[mm] $(S)-\int\limits_{t_0}^t H(s,Y_s)\, dY_s [/mm] = [mm] (I)-\int\limits_{t_0}^t H(s,Y_s)\, dY_s [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \int\limits_{t_0}^t \frac{\partial H(s,Y_s)}{\partial x} B(s,Y_s)\, [/mm] ds$.
(Insbesondere stimmen die beiden stochastischen Integrale überein, wenn $H$ nicht von $x$ abhängt.)
Zu stochastischen Differentialgleichungen:
Gemäß unserer obigen Umrechnungs"formel" gehört zu der stochastischen Differentialgleichung nach Itô,
$(I) [mm] \quad dX_t [/mm] = fdt + [mm] GdW_t$
[/mm]
die Stratonovich-Differentialgleichung
$(S) [mm] \quad dX_t [/mm] = [mm] \left( f - \frac{1}{2} \sum\limits_{j=1}^m \sum\limits_{k=1}^d \left( \frac{G}{\partial x_k} \right)_{\cdot j}G_{kj} \right)\, [/mm] dt + [mm] GdW_t$.
[/mm]
Die Umrechnung umgekehrt funktioniert natürlich analog (Addition des entsprechenden Terms zum Driftterm).
Beispiel: Die formale skalare lineare stochastische Differentialgleichung
[mm] $dX_t [/mm] = [mm] A(t)X_t\, [/mm] dt + [mm] B(t)X_t \, dW_t$,
[/mm]
[mm] $X_{t_0}=c$,
[/mm]
hat als Itô-Gleichung die Lösung
[mm] $X_t [/mm] = c [mm] \exp\left( \int\limits_{t_0}^t \left(A(s) - \frac{B(s)^2}{2} \right)\, ds + \int\limits_{t_0}^t B(s)\, dW_s \right)$
[/mm]
und als Stratonovich-Gleichung die Lösung:
[mm] $X_t [/mm] = c [mm] \exp\left( \int\limits_{t_0}^t A(s)\, ds + \int\limits_{t_0}^t B(s)\, dW_s \right)$.
[/mm]
Das Stratonovich-Integral verhält sich nach den Rechenregeln, die wir vom Riemann-Stieltjes-Integral her kennen. Es ergibt sich in natürlicher Weise, wenn man den Wiener-Prozess durch glatte Prozesse approximiert und ist ein gutes Werkzeug für eine stochastische Analysis auf Mannigfaltigkeiten.
Das Itô-Integral ist für viele praktische Zwecke und Anwendungen (gerade in der Finanzmathematik)allerdings nützlicher, da es (als Funktion der oberen Integralgrenze) die Martingaleigenschaft hat.
Viele Grüße
Julius
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