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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Di 12.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Sei [mm] A=\pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }. [/mm] Man bestimme eine Basis derart, dass [mm] B^{-1}*A*B [/mm] Jordansche Normalform hat. |
Hallo^^
Ich hab die Aufgabe gerechnet und habe auch die Lösung dazu, verstehe aber nicht wie man drauf kommt.
Also zunächst ist das charakteristische Polynom von A [mm] \chi(x)=x^{3}. [/mm] In der Lösung steht [mm] -x^{3}. [/mm] Ich hab [mm] det(X*E_{3}-A) [/mm] gerechnet, in der Lösung wurde wohl [mm] mit(A-X*E_{3}) [/mm] gerechnet. Aber eigentlich ist es doch egal wierum man rechnet. Es hat doch keine Auswirkungen auf die apätere Rechnung.
So, ich hab also [mm] \chi(x)=x^{3} [/mm] und damit als einzigen Eigenwert x=0.
Nun ist [mm] A^{2}=\pmat{ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] und
[mm] A^{2}=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }.
[/mm]
Damit ist dim ker (A)=1, dim ker [mm] (A^{2})=2 [/mm] und dim ker [mm] (A^{3})=3.
[/mm]
Basen für ker(A), [mm] ker(A^{2}) [/mm] und [mm] ker(A^{3}) [/mm] sind jeweils:
[mm] B_{1}=(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}), B_{2}=(\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}), B_{3}=(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}).
[/mm]
In der Lösung steht, dass eine Basis von [mm] ker(A^{2}) B_{2}=(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}) [/mm] ist. Wieso das denn, denn die 4 steht in der ersten Zeile also wird [mm] x_{1}=0.
[/mm]
Dann wollte ich die Anzahl [mm] k_{s} [/mm] der s x s Jordan Bköcke mit 0 auf der Diagonalen berechnen. Für s=1 gilt:
[mm] k_{1}=2*2-0-2=0
[/mm]
[mm] k_{2}=4-1-3=0
[/mm]
[mm] k_{3}=6-2-3=1. [/mm] Also gibt es einen 3 x 3 Jordan Block zum Eigenwert 0. Damit lautet die Jordan Normalform von A [mm] J=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }. [/mm] Das stimmt auch mit der Lösung überein.
Für die Basis muss ich doch zunächst [mm] B_{2} [/mm] zu einer Basis von [mm] B_{3} [/mm] ergänzen. Es gilt [mm] B_{3}=B_{2} \cup \vektor{1 \\ 0 \\ 0}. [/mm] Damit ist [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] der hauptvektor dritter Stufe.
Weiterhin gilt [mm] A*e_{1}=0, A^{2}*e_{1}=0 [/mm] und [mm] A^{3}*e_{1}=0
[/mm]
Dann ergänze ich [mm] B_{1} [/mm] zu einer Basis von [mm] B_{2}. [/mm] Und hier habe ich ein Problem. [mm] B_{1} [/mm] wird erzeigt von [mm] e_{1}, B_{2} [/mm] aber von [mm] e_{2} [/mm] und [mm] e_{3} [/mm] nach meiner Rechnung. Dann kann diese Ergänzung nicht funktionieren.
Weiß jemand wo mein Fehler liegt?
Aber allgemeint ist doch meine Vorgehensweise zur Bestimmung der Basis B in Ordnung oder?
In der Lösung ist als Basis [mm] B=(\vektor{2 \\ 2 \\ 0},\vektor{4 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}) [/mm] angegeben.
Vielen Dank
lg
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> Sei [mm]A=\pmat{ 0 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 2 }.[/mm] Man
> bestimme eine Basis derart, dass [mm]B^{-1}*A*B[/mm] Jordansche
> Normalform hat.
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> Hallo^^
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> Ich hab die Aufgabe gerechnet und habe auch die Lösung
> dazu, verstehe aber nicht wie man drauf kommt.
>
> Also zunächst ist das charakteristische Polynom von A
> [mm]\chi(x)=x^{3}.[/mm] In der Lösung steht [mm]-x^{3}.[/mm] Ich hab
> [mm]det(X*E_{3}-A)[/mm] gerechnet, in der Lösung wurde wohl
> [mm]mit(A-X*E_{3})[/mm] gerechnet. Aber eigentlich ist es doch egal
> wierum man rechnet. Es hat doch keine Auswirkungen auf die
> apätere Rechnung.
Hallo,
genau. Die beiden Polynome unterscheiden sich nur durch den Faktor -1, was auf die Nullstellen keine Auswirkung hat.
Mancherorts ist det(A-xE) das charakteristische Polynom, mancherorts der(xE-A).
Bei der ersten Variante macht man nicht so viel falsch, weil man nicht die schwere Aufgabe hat, die Vorzeichen von A für -A umzudrehen, die zweite Variante ist schön, weil der Leitkoeffizient des Polynoms immer 1 ist.
Allerdings ist das charakteristische Polynom Deiner Matrix keins der beiden...
Ich fürchte, Du hast die falsche Matrix eingetippt.
Prüfe das.
Gruß v. Angela
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> So, ich hab also [mm]\chi(x)=x^{3}[/mm] und damit als einzigen
> Eigenwert x=0.
>
> Nun ist [mm]A^{2}=\pmat{ 0 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
> und
>
> [mm]A^{2}=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 }.[/mm]
>
> Damit ist dim ker (A)=1, dim ker [mm](A^{2})=2[/mm] und dim ker
> [mm](A^{3})=3.[/mm]
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> Basen für ker(A), [mm]ker(A^{2})[/mm] und [mm]ker(A^{3})[/mm] sind jeweils:
>
> [mm]B_{1}=(\vektor{1 \\
0 \\
0}), B_{2}=(\vektor{0 \\
1 \\
0},\vektor{0 \\
0 \\
1}), B_{3}=(\vektor{1 \\
0 \\
0},\vektor{0 \\
1 \\
0},\vektor{0 \\
0 \\
1}).[/mm]
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> In der Lösung steht, dass eine Basis von [mm]ker(A^{2}) B_{2}=(\vektor{1 \\
0 \\
0},\vektor{0 \\
1 \\
0})[/mm]
> ist. Wieso das denn, denn die 4 steht in der ersten Zeile
> also wird [mm]x_{1}=0.[/mm]
>
> Dann wollte ich die Anzahl [mm]k_{s}[/mm] der s x s Jordan Bköcke
> mit 0 auf der Diagonalen berechnen. Für s=1 gilt:
>
> [mm]k_{1}=2*2-0-2=0[/mm]
> [mm]k_{2}=4-1-3=0[/mm]
> [mm]k_{3}=6-2-3=1.[/mm] Also gibt es einen 3 x 3 Jordan Block zum
> Eigenwert 0. Damit lautet die Jordan Normalform von A
> [mm]J=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 }.[/mm] Das stimmt
> auch mit der Lösung überein.
>
> Für die Basis muss ich doch zunächst [mm]B_{2}[/mm] zu einer Basis
> von [mm]B_{3}[/mm] ergänzen. Es gilt [mm]B_{3}=B_{2} \cup \vektor{1 \\
0 \\
0}.[/mm]
> Damit ist [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0}[/mm] der hauptvektor dritter
> Stufe.
> Weiterhin gilt [mm]A*e_{1}=0, A^{2}*e_{1}=0[/mm] und [mm]A^{3}*e_{1}=0[/mm]
>
> Dann ergänze ich [mm]B_{1}[/mm] zu einer Basis von [mm]B_{2}.[/mm] Und hier
> habe ich ein Problem. [mm]B_{1}[/mm] wird erzeigt von [mm]e_{1}, B_{2}[/mm]
> aber von [mm]e_{2}[/mm] und [mm]e_{3}[/mm] nach meiner Rechnung. Dann kann
> diese Ergänzung nicht funktionieren.
>
> Weiß jemand wo mein Fehler liegt?
> Aber allgemeint ist doch meine Vorgehensweise zur
> Bestimmung der Basis B in Ordnung oder?
>
> In der Lösung ist als Basis [mm]B=(\vektor{2 \\
2 \\
0},\vektor{4 \\
0 \\
0},\vektor{0 \\
0 \\
1})[/mm]
> angegeben.
>
> Vielen Dank
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Di 12.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Angela,
du hast Recht, in der letzten Zeile der Matrix steht ganz rechts eine Null, habs grad ausgebessert.
Wo liegt nun mein Fehler?
lg
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Deine Basis für [mm] $Kern(A^2)$ [/mm] ist falsch. (0,0,1) liegt nicht im Kern von [mm] $A^2$.
[/mm]
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