Jacobi-Matrix einer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an alle,
ich sitze gerade an einer DGL folgender Form:
w'=f(t,w(t)) ,
w(1)=w(2)*w(3);
w(2)=-w(1)*w(3);
w(3)=-0.51*w(1)*w(2);
w0=[0 1 1]
Nun möchte ich diese mit dem impliziten Euler lösen, und benutze das Newtonverfahren, um an ein vorläufiges [mm] w_1 [/mm] zu kommen. Dazu brauche ich die Jacobi-Matrix.
Muss ich diese wie gewohnt aufstellen, oder gibts da bei ode's was bestimmtes zu beachten?Reicht es, nach den 3 w-Komponenten abzuleiten? Meine Lösung ist nämlich leider nicht invertierbar...Sie lautet wie folgt:
J=[ 0 w(3) w(2);
-w(3) 0 -w(1);
-0.51*w(2) -0,51*w(1) 0],
also am Anfangswert:
J= 0 0 1
-1 0 0
-0.51 0 0
Die Matrix sollte eigentlich regulär sein, finde aber meinen Fehler nicht...
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
LG Regentroepfli
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Hallo Regentroepfli,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo an alle,
>
> ich sitze gerade an einer DGL folgender Form:
>
> w'=f(t,w(t)) ,
>
> w(1)=w(2)*w(3);
> w(2)=-w(1)*w(3);
> w(3)=-0.51*w(1)*w(2);
> w0=[0 1 1]
So ist es besser:
w(1)'=w(2)*w(3);
w(2)'=-w(1)*w(3);
w(3)'=-0.51*w(1)*w(2);
>
> Nun möchte ich diese mit dem impliziten Euler lösen, und
> benutze das Newtonverfahren, um an ein vorläufiges [mm]w_1[/mm] zu
> kommen. Dazu brauche ich die Jacobi-Matrix.
> Muss ich diese wie gewohnt aufstellen, oder gibts da bei
> ode's was bestimmtes zu beachten?Reicht es, nach den 3
> w-Komponenten abzuleiten? Meine Lösung ist nämlich leider
> nicht invertierbar...Sie lautet wie folgt:
>
> J=[ 0 w(3) w(2);
> -w(3) 0 -w(1);
> -0.51*w(2) -0,51*w(1) 0],
>
> also am Anfangswert:
>
> J= 0 0 1
> -1 0 0
> -0.51 0 0
>
> Die Matrix sollte eigentlich regulär sein, finde aber
> meinen Fehler nicht...
>
Das implizite Eulerverfahren lautet so:
[mm]w_{k+1}=w_{k}+h*f\left(t_{k+1}, w_{k+1}\right)[/mm]
Nun wird die rechte Seite durch das lineare Taylorpolyom ersetzt:
[mm]w_{k+1}=w_{k}+h*\left(f\left(t_{k},w_{k}\right)+\bruch{\partial f}{\partial t}* \left(t_{k+1}-t_{k}\right)+\bruch{\partial f}{\partial w}* \left(w_{k+1}-w_{k}\right) \ \right)[/mm]
[mm]\Rightarrow w_{k+1}=w_{k}+h*\left(f\left(t_{k},w_{k}\right)+\bruch{\partial f}{\partial w}* \left(w_{k+1}-w_{k}\right) \ \right)[/mm]
Löse dies nun nach [mm]w_{k+1}-w_{k}[/mm] auf.
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Implizites Eulerverfahren
>
> Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
>
> LG Regentroepfli
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
vielen Dank für deine rasche Antwort! Allerdings komme ich immernoch nicht ganz zurecht:
>
>
> So ist es besser:
>
> w(1)'=w(2)*w(3);
> w(2)'=-w(1)*w(3);
> w(3)'=-0.51*w(1)*w(2);
Ja, so war es auch natürlich gemeint, habe mich nur vertippt...
>
> Das implizite Eulerverfahren lautet so:
>
> [mm]w_{k+1}=w_{k}+h*f\left(t_{k+1}, w_{k+1}\right)[/mm]
>
> Nun wird die rechte Seite durch das lineare Taylorpolyom
> ersetzt:
>
> [mm]w_{k+1}=w_{k}+h*\left(f\left(t_{k},w_{k}\right)+\bruch{\partial f}{\partial t}* \left(t_{k+1}-t_{k}\right)+\bruch{\partial f}{\partial w}* \left(w_{k+1}-w_{k}\right) \ \right)[/mm]
> [mm]\Rightarrow w_{k+1}=w_{k}+h*\left(f\left(t_{k},w_{k}\right)+\bruch{\partial f}{\partial w}* \left(w_{k+1}-w_{k}\right) \ \right)[/mm]
Was ist mit [mm] \bruch{\partial f}{\partial t}* \left(t_{k+1}-t_{k}\right) [/mm] passiert?
>
> Löse dies nun nach [mm]w_{k+1}-w_{k}[/mm] auf.
Und dann? Sowie ich das verstanden habe, war meine Jacobimatrix schon richtig, oder?
Diese ist doch dann am Startwert bzw. bei [mm] w_k [/mm] auszuwerten, sonst kann ich das [mm] w_{k+1} [/mm] doch gar nicht bestimmen?!
Besten Dank nochmal,
Grüße, Regentroepfli
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Hallo Regentroepfli,
> Hallo MathePower,
>
>
>
> vielen Dank für deine rasche Antwort! Allerdings komme ich
> immernoch nicht ganz zurecht:
> >
> >
> > So ist es besser:
> >
> > w(1)'=w(2)*w(3);
> > w(2)'=-w(1)*w(3);
> > w(3)'=-0.51*w(1)*w(2);
>
>
> Ja, so war es auch natürlich gemeint, habe mich nur
> vertippt...
> >
> > Das implizite Eulerverfahren lautet so:
> >
> > [mm]w_{k+1}=w_{k}+h*f\left(t_{k+1}, w_{k+1}\right)[/mm]
> >
> > Nun wird die rechte Seite durch das lineare Taylorpolyom
> > ersetzt:
> >
> >
> [mm]w_{k+1}=w_{k}+h*\left(f\left(t_{k},w_{k}\right)+\bruch{\partial f}{\partial t}* \left(t_{k+1}-t_{k}\right)+\bruch{\partial f}{\partial w}* \left(w_{k+1}-w_{k}\right) \ \right)[/mm]
>
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> > [mm]\Rightarrow w_{k+1}=w_{k}+h*\left(f\left(t_{k},w_{k}\right)+\bruch{\partial f}{\partial w}* \left(w_{k+1}-w_{k}\right) \ \right)[/mm]
>
> Was ist mit [mm]\bruch{\partial f}{\partial t}* \left(t_{k+1}-t_{k}\right)[/mm]
> passiert?
Nun, die Funktion [mm]f\left(t,w\right)[/mm] hängt nicht explizit von t ab.
> >
> > Löse dies nun nach [mm]w_{k+1}-w_{k}[/mm] auf.
>
> Und dann? Sowie ich das verstanden habe, war meine
> Jacobimatrix schon richtig, oder?
Nicht ganz. Zu der Jacobimatrix kommt noch etwas hinzu.
> Diese ist doch dann am Startwert bzw. bei [mm]w_k[/mm] auszuwerten,
> sonst kann ich das [mm]w_{k+1}[/mm] doch gar nicht bestimmen?!
>
Das ergibt sich dann nach der Auflösung.
Zunächst steht da:
[mm]\left(I-h*\bruch{\partial f}{\partial w}\right)*\left(w_{k+1}-w_{k}\right)=h*f\left(t_{k},w_{k}\right)[/mm]
Dann aufgelöst nach [mm]w_{k+1}[/mm]:
[mm]w_{k+1}=w_{k}+h*\left( \ I-h*\bruch{\partial f}{\partial w}\left(t_{k},w_{k}\right) \ \right)^{-1}*f\left(t_{k},w_{k}\right)[/mm]
, wobei I die Einheitsmatrix im [mm]\IR^{3}[/mm] ist.
>
> Besten Dank nochmal,
>
> Grüße, Regentroepfli
>
Gruß
MathePower
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Hallo,
jetzt bin ich irgendwie ein wenig verwirrt.
Ich dachte, ich muss zuerst ein [mm] w_{k+1} [/mm] durch das Newton-Verfahren ermitteln und dann dieses in der impliziten Euler-Formel 'testen'. Irgendwie kann ich nur einen Schritt erkennen.
Oder ist das Quasi die Kombination aus beidem????
Kann ich nicht einfach ins Newtonverfahren w'-w=:g einsetzen:
wn + 1 = wn − (J(gn))^( − 1)*g(wn) ??
Vielen lieben Dank!
Gruß, Regentroepfli
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Hallo Regentroepfli,
> Hallo,
>
> jetzt bin ich irgendwie ein wenig verwirrt.
> Ich dachte, ich muss zuerst ein [mm]w_{k+1}[/mm] durch das
> Newton-Verfahren ermitteln und dann dieses in der
> impliziten Euler-Formel 'testen'. Irgendwie kann ich nur
> einen Schritt erkennen.
Zugegeben die Indizes sind etwas verwirrrend.
> Oder ist das Quasi die Kombination aus beidem????
Ich glaube, daß was ich in den vorherigen Posts geschrieben, stimmt nicht ganz.
>
> Kann ich nicht einfach ins Newtonverfahren w'-w=:g
> einsetzen:
> wn + 1 = wn − (J(gn))^( − 1)*g(wn) ??
Nun, Du mußt hier die Nullstelle der Funktion
[mm]w-w_{0}-h*f\left(t_{1},w\right)[/mm]
berechnen.
> Vielen lieben Dank!
>
> Gruß, Regentroepfli
Gruß
MathePower
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