www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme" - Jacobi-Verfahren
Jacobi-Verfahren < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Jacobi-Verfahren: Berechnung von x
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:40 Mo 16.02.2009
Autor: Pacapear

Hallo zusammen!



Ich habe Probleme bei der Berechung von x im Jacobi-Verfahren.

Also ich kann ja einmal mit der Matrixdarstellung arbeiten: [mm] x^{k+1}=D^{-1}Bx^k+D^{-1}b [/mm]

Oder mit der ausformulieren Variante: [mm] x_i^{k+1}=\bruch{1}{a_{ii}}*(b_i-\summe_{i\not=j}^{}a_{ij}x_j^k) [/mm]

Ich hab mit dazu mal ein Beipsiel gemacht, aber da glaube ich, dass ich mit der Matrixdarstellung immer auf das falsche Ergebnis komme, weil ich immer eine komplette Nullmatrix erhalte [nixweiss]



Hier mal mein Beispiel:

[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 4} [/mm] und [mm] b=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]

So, D ist ja definiert als Diagonalelemente von A, also [mm] D=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4}. [/mm]

B ist definiert als [mm]\ D-A [/mm], also [mm] B=\pmat{ 0 & -2 & -3 \\ -1 & 0 & -2 \\ -2 & -1 & 0} [/mm]

So, dann noch ein beliebiger Startvektor [mm] x^0, [/mm] nehm ich mal [mm] x^0=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]

Wenn ich nun mein [mm] x^1 [/mm] mit der Matrixform berechne, dann erhalte ich:

[mm] x^1=D^{-1}Bx^0+D^{-1}b=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{4}}*\pmat{ 0 & -2 & -3 \\ -1 & 0 & -2 \\ -2 & -1 & 0}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{4}}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{4}}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+\vektor{1 \\ 1 \\ \bruch{1}{4}}=\vektor{1 \\ 1 \\ \bruch{1}{4}} [/mm]

Wenn ich das ganze jetzt mit dieser Summenformel berechne, erhalte ich schon für die erste x-Komponente einen ganz anderen Wert, nämlich [mm]\ -4 [/mm].

Und das mit dieser Nullmatrix kann doch auch irgendwie nicht stimmen, oder?

Muss ich vielleicht erst die Matrix B mit [mm] x^0 [/mm] multiplizieren, bevor ich [mm] D^{-1} [/mm] dranmultipliziere?

Oder mach ich einen anderen Fehler?



LG, Nadine

        
Bezug
Jacobi-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:16 Mo 16.02.2009
Autor: MathePower

Hallo Pacapear,

> Hallo zusammen!
>  
>
>
> Ich habe Probleme bei der Berechung von x im
> Jacobi-Verfahren.
>  
> Also ich kann ja einmal mit der Matrixdarstellung arbeiten:
> [mm]x^{k+1}=D^{-1}Bx^k+D^{-1}b[/mm]
>  
> Oder mit der ausformulieren Variante:
> [mm]x_i^{k+1}=\bruch{1}{a_{ii}}*(b_i-\summe_{i\not=j}^{}a_{ij}x_j^k)[/mm]
>  
> Ich hab mit dazu mal ein Beipsiel gemacht, aber da glaube
> ich, dass ich mit der Matrixdarstellung immer auf das
> falsche Ergebnis komme, weil ich immer eine komplette
> Nullmatrix erhalte [nixweiss]
>  
>
>
> Hier mal mein Beispiel:
>  
> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 4}[/mm] und
> [mm]b=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>  
> So, D ist ja definiert als Diagonalelemente von A, also
> [mm]D=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4}.[/mm]
>  
> B ist definiert als [mm]\ D-A [/mm], also [mm]B=\pmat{ 0 & -2 & -3 \\ -1 & 0 & -2 \\ -2 & -1 & 0}[/mm]
>  
> So, dann noch ein beliebiger Startvektor [mm]x^0,[/mm] nehm ich mal
> [mm]x^0=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>  
> Wenn ich nun mein [mm]x^1[/mm] mit der Matrixform berechne, dann
> erhalte ich:
>  
> [mm]x^1=D^{-1}Bx^0+D^{-1}b=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{4}}*\pmat{ 0 & -2 & -3 \\ -1 & 0 & -2 \\ -2 & -1 & 0}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{4}}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{4}}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+\vektor{1 \\ 1 \\ \bruch{1}{4}}=\vektor{1 \\ 1 \\ \bruch{1}{4}}[/mm]
>  
> Wenn ich das ganze jetzt mit dieser Summenformel berechne,
> erhalte ich schon für die erste x-Komponente einen ganz
> anderen Wert, nämlich [mm]\ -4 [/mm].
>  
> Und das mit dieser Nullmatrix kann doch auch irgendwie
> nicht stimmen, oder?


Ja, da hast Du recht.


>
> Muss ich vielleicht erst die Matrix B mit [mm]x^0[/mm]
> multiplizieren, bevor ich [mm]D^{-1}[/mm] dranmultipliziere?


Nein, die Matrizenmultiplikation ist doch assoziativ, das heißt

[mm]D^{-1}*\left( \ B x^{k} \ \right) = \left(\ D^{-1}B \ \right) x^{k}[/mm]


>  
> Oder mach ich einen anderen Fehler?
>  


Ausser dem, daß [mm]D^{-1}B[/mm] falsch berechnet wurde, nicht.


>
>
> LG, Nadine


Gruß
MathePower

Bezug
        
Bezug
Jacobi-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:20 Mo 16.02.2009
Autor: sunshinekid

Du hast geschrieben [mm] $D^{-1}$. [/mm] Das ist die Inverse Matrix zu $D$. Die hast du aber nicht berechnet. Wenn du das machst, dann kommst du auch auf das richtige Ergebnis.

lg Sunny

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de