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Forum "Uni-Numerik" - Jacobi-Verfahren
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Jacobi-Verfahren: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 Fr 02.12.2011
Autor: chesn

Aufgabe
Gegeben sei die reguläre Matrix

[mm] A=\pmat{5 & 3 & -1 \\ 4 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & -3} [/mm]

(a) Zeigen Sie, dass A irreduzibel ist.

(b) Untersuchen Sie, ob das Jacobi-Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit der Matrix A konvergiert.

Hallo!

(a) Kann ich hier zeigen, dass [mm] max_{i=1,...,n}\summe_{j=1, j\not= i}^{n}\bruch{|a_{ij}|}{|a_{ii}|} \le [/mm] 1 oder ist das nicht äquivalent zu irreduzibel?

(b) Jetzt heisst es im Skript, dass wenn A irreduzibel und diagonaldominant ist, also: [mm] max_{i=1,...,n}\summe_{j=1, j\not= i}^{n}\bruch{|a_{ij}|}{|a_{ii}|} \le [/mm] 1 erfüllt ist und es ein k gibt mit [mm] \summe_{j=1,j\not= k}^{n}\bruch{|a_{kj}|}{|a_{kk}|} [/mm] < 1 , dass das Jacobi-Verfahren für jeden bel. Startvektor [mm] x_0 [/mm] und für jede bel. Seite b gegen [mm] A^{-1}b [/mm] konvergiert.

Nach meiner Rechnung ist das erfüllt, also müsste es konvergieren.
Ist damit schon alles gezeigt?

Dankeschön schonmal!


        
Bezug
Jacobi-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:40 Sa 03.12.2011
Autor: MathePower

Hallo chesn,

> Gegeben sei die reguläre Matrix
>  
> [mm]A=\pmat{5 & 3 & -1 \\ 4 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & -3}[/mm]
>  
> (a) Zeigen Sie, dass A irreduzibel ist.
>  
> (b) Untersuchen Sie, ob das Jacobi-Verfahren zur Lösung
> eines linearen Gleichungssystems mit der Matrix A
> konvergiert.
>  Hallo!
>  
> (a) Kann ich hier zeigen, dass [mm]max_{i=1,...,n}\summe_{j=1, j\not= i}^{n}\bruch{|a_{ij}|}{|a_{ii}|} \le[/mm]
> 1 oder ist das nicht äquivalent zu irreduzibel?
>  

Nein, das kannst Du so nicht zeigen, da dies nicht äquivalent zu irreduzibel ist.


> (b) Jetzt heisst es im Skript, dass wenn A irreduzibel und
> diagonaldominant ist, also: [mm]max_{i=1,...,n}\summe_{j=1, j\not= i}^{n}\bruch{|a_{ij}|}{|a_{ii}|} \le[/mm]
> 1 erfüllt ist und es ein k gibt mit [mm]\summe_{j=1,j\not= k}^{n}\bruch{|a_{kj}|}{|a_{kk}|}[/mm]
> < 1 , dass das Jacobi-Verfahren für jeden bel. Startvektor
> [mm]x_0[/mm] und für jede bel. Seite b gegen [mm]A^{-1}b[/mm] konvergiert.
>  
> Nach meiner Rechnung ist das erfüllt, also müsste es
> konvergieren.
>  Ist damit schon alles gezeigt?

>


Bei b) ist damit schon alles gezeigt.  


> Dankeschön schonmal!

>


Gruss
MathePower  

Bezug
        
Bezug
Jacobi-Verfahren: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:49 Sa 03.12.2011
Autor: chesn

Hat sich erledigt.. danke!
Bezug
                
Bezug
Jacobi-Verfahren: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mo 05.12.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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