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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend alle zusammen!
Ich habe hier vor mir das Jacobi - Symbol vorliegen und weiß , dass das eine Verallgemeinerung des Restsymbols ist, da man hier nicht nur Primzahlen betrachtet, sondern ganzen Zahlen größer 1.
Ich bin auf eine Bemerkung gestoßen, die ich nicht verstehe und wäre dankbar, wenn man mir diese erläutern würde!
Es handelt sich dabei um eine Bemerkung die sich auf das Reprozitätsgesetzt für Jacobi - Symbole bezieht.
Satz:
Sind a, b > 1 ungerade Zahlen ,dann gilt:
[mm] ( \bruch{a}{b}) \cdot ( \bruch{b}{a} ) = (-1)^{ \bruch{a-1}{r} \cdot \bruch{b-1}{2} } [/mm]
Die Bemerkung lautet:
Für ungerade Primzahlen [mm] p \ne q [/mm] bedeutet der Satz:
Ist wenigstens eine der Zahlen p, q kongruent zu 1 modulo 4, so ist q ein quadratischer Rest mod p genau dann, wenn p ein quadratischer Rest modulo q ist.
Sind beide Zahlen kongruent zu -1 modulo 4 , so ist q ein quadratischer Rest modulo p genau dann, wenn p ein quadratischer Nichtrest mod q ist.
Ich verstehe diese Bemerkung nicht... vorallem nicht , warum man auf einmal modulo 4 rechnet und 1 und -1 als Reste betrachtet...
In welchem Zusammenhang steht denn das Restsymbol zu 1 mod 4
bzw -1 mod 4 ?
Vielen Dank für die Mühe!
Viele Grüße
Irmchen
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Hallo Irma!
Dann schauen wir doch mal...
Was hat das mit Kongruenzen modulo 4 zu tun? Ich denke, wenn du das verstehst, verstehst du den Rest sofort.
Das nutzt du nämlich bei dem Exponenten [mm] (-1)^{ \bruch{p-1}{2} \cdot \bruch{q-1}{2} }.
[/mm]
Betrachte [mm] \bruch{p-1}{2}. [/mm] Wenn [mm] p\equiv [/mm] 1 (4), dann ist [mm] p=1+k\cdot [/mm] 4 mit einem [mm] k\in\IN. [/mm] Also [mm] \bruch{p-1}{2}=\bruch{(4k+1)-1}{2}=\bruch{4k}{2}=2k. [/mm] Damit ist immer [mm] (-1)^{ \bruch{p-1}{2}}=(-1)^{2k} [/mm] mit einem natürlichen k. Und da [mm] (-1)^{2k}=((-1)^2)^k=1^k=1, [/mm] ist der Term [mm] (-1)^{ \bruch{p-1}{2}}=+1.
[/mm]
Für [mm] p\equiv [/mm] -1 (4) stellst du genau die selben Überlegungen an, folgerst, dass [mm] \bruch{p-1}{2} [/mm] ungerade ist und somit [mm] (-1)^{\bruch{p-1}{2}}=-1.
[/mm]
Ok?
Wir haben folgende Formel:
$ ( [mm] \bruch{a}{b}) \cdot [/mm] ( [mm] \bruch{b}{a} [/mm] ) = [mm] (-1)^{ \bruch{a-1}{2} \cdot \bruch{b-1}{2} } [/mm] $
(Das Gesetz heißt übrigens Reziprozitätsgesetz ;))
In deinem Fall sind a, b Primzahlen p, q.
Sei mal p [mm] \equiv [/mm] 1 (4).
Unsere Formel liest sich somit
$ ( [mm] \bruch{p}{q}) \cdot [/mm] ( [mm] \bruch{q}{p} [/mm] ) = [mm] (-1)^{ \bruch{p-1}{2} \cdot \bruch{q-1}{2} } =((-1)^{ \bruch{p-1}{2} })^{ \bruch{q-1}{2} }=1^{ \bruch{q-1}{2} }=1$, [/mm] da eben [mm] p\equiv [/mm] 1 (4).
Das heißt aber, dass wenn [mm] (\bruch{p}{q})=1, [/mm] auch [mm] (\bruch{q}{p})=1, [/mm] da ja [mm] (\bruch{p}{q})\cdot(\bruch{q}{p})=1 [/mm] und [mm] (\bruch{p}{q})\in\{-1,0,1\}. [/mm] Umgekehrt analog.
Und falls [mm] (\bruch{p}{q})=-1, [/mm] folgt genauso, dass [mm] (\bruch{q}{p})=-1.
[/mm]
Sind nun [mm] p\equiv q\equiv -1\equiv [/mm] 3(4), wird die Formel zu:
[mm] (\bruch{p}{q})\cdot(\bruch{q}{p})=(-1)^{ \bruch{p-1}{2} \cdot \bruch{q-1}{2} }=((-1)^{ \bruch{p-1}{2}})^{ \bruch{q-1}{2} }=(-1)^{ \bruch{q-1}{2} }=-1.
[/mm]
Aus [mm] (\bruch{p}{q})\cdot(\bruch{q}{p})=-1 [/mm] folgt also, dass wenn ein Faktor -1 ist, der andere 1 ist. Das ist die Aussage.
Halbwegs klar?
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