Jacobi Matrizen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Do 31.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Berechnen Sie für die folgenden Funktionen die Jakobi Matrizen und schliessen Sie, dass die Funktionen auf dem angegebenen Definitionsbereich differentierbar sind:
a) [mm] $\gamma: \IR \rightarrow \IR^{2}, \gamma (t)=\vektor{e^{-2t}cos(3t)\\e^{-2t}sin(3t)}$
[/mm]
b) [mm] $f:\IR \backslash \{w\} \rightarrow \IR, [/mm] f(v)=ln(||v-w||)
c) [mm] $f:\IR^{3}\rightarrow \IR^{3}, \vektor{r\\ \alpha \\ \beta}\rightarrow \vektor{rcos\alpha sin\beta \\ rsin \alpha sin \beta \\ rcos \beta}$
[/mm]
[mm] d)$f:\IR^{n} \backslash \{w\} \rightarrow \IR^{n}, f(v)=\frac{v}{||v-w||^{n}}$ [/mm] $(n [mm] \in \IN$ [/mm] und $w [mm] \in \IR^{n}$ [/mm] fest gewählt) |
Hallo
a) a:= [mm] e^{-2t}cos(3t)
[/mm]
a'= [mm] $-2e^{-2t}cos(3t)-3e^{-2t}sin(3t)$
[/mm]
a''= [mm] $-4e^{-2t}cos(3t)+6e^{-2t}sin(3t) +6e^{-2t}sin(3t)-9e^{-2t}cos(3t)$
[/mm]
b:= [mm] e^{-2t}sin(3t)
[/mm]
[mm] b'=$-2e^{-2t}sin(3t)+3e^{-2t}cos(3t)$
[/mm]
[mm] b''=$4e^{-2t}sin(3t)-6e^{-2t}cos(3t) -6e^{-2t}cos(3t)-9e^{-2t}sin(3t)$
[/mm]
Die Jakobimatrix von [mm] $\gamma: \IR \rightarrow \IR^{2}$ [/mm] lautet also: [mm] $\vektor{a' & a'' \\ b' & b''}$
[/mm]
b) [mm] $f(v)=ln(\sqrt{v^{2}-w^{2}})$ [/mm] Die partielle Ableitung nach v ist:
[mm] $\frac{v}{v^{2}-w^{2}}$ [/mm] und das ist auch die Jakobimatrix
c)
Die Jakobi MAtrix lautet hier: [mm] $\vektor{a_{1}& a_{2}& a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3}}$
[/mm]
[mm] $a_{1}:= \frac{df_{1}}{dr}=cosasinb$
[/mm]
[mm] $a_{2}:= \frac{df_{2}}{dr}=sinasinb$
[/mm]
[mm] $a_{2}:= \frac{df_{3}}{dr}= [/mm] cosb$
[mm] $b_{1}:=\frac{df_{1}}{da}= [/mm] -rsinasinb$
[mm] $b_{2}:=\frac{df_{2}}{da}= [/mm] rcosasinb$
[mm] $b_{3}:= \frac{df_{3}}{da}= [/mm] 0$
[mm] $c_{1}:= \frac{df_{1}}{db}= [/mm] rcosacosb$
[mm] $c_{2}:=\frac{df_{2}}{db}=rsinacosb$
[/mm]
[mm] $c_{3}:= \frac{df_{2}}{db}=-rsinb$
[/mm]
d)
[mm] $f(v)=\frac{v}{(v^{2}-w^{2})^{n/2}}$
[/mm]
Die Jakobimatrix ist die partielle Ableitung [mm] $\frac{df}{dv}= (v^{2}-w^{2})^{-n/2}-\frac{n}{2}2v^{2}(v^{2}-w^{2})^{-\frac{n}{2}-1}$
[/mm]
Stimmt das so?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Do 31.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
> Definition von || v-w ||
$||v-w||= [mm] \sqrt{v^{2}-w^{2}}$
[/mm]
oder ist : [mm] $||v-w||=\sqrt{(v_{1}-w_{1})^{2}+(v_{2}-w_{2})^{2}}$
[/mm]
dann wird die Jakobi Matrix [mm] $\vektor{a & b \\ c & d}$
[/mm]
wobei $a$ die partielle Ableitung nach [mm] $v_{1}$ [/mm] , b die nach [mm] $v_{2}$ [/mm] , c die nach [mm] $w_{1}$ [/mm] und d die nach [mm] $w_{2}$ [/mm] ?
Dasselbe dann auch bei Aufgabe d) oder?
> daumenhoch
> daumenhoch
Danke
> Gruss
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo Mathepower,
>
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> > Definition von || v-w ||
>
> [mm]||v-w||= \sqrt{v^{2}-w^{2}}[/mm]
>
> oder ist :
> [mm]||v-w||=\sqrt{(v_{1}-w_{1})^{2}+(v_{2}-w_{2})^{2}}[/mm]
>
[mm]\vmat{\vmat{v-w}}[/mm] ist die ![[]](/images/popup.gif) euklidische Norm
In Aufgabe b) hast Du demnach
[mm]\vmat{\vmat{v-w}}=\wurzel{\left(v-w\right)^{2}}[/mm]
Bei d) hast Du dann, da [mm]v,w \in \IR^{n}[/mm]:
[mm]\vmat{\vmat{v-w}}=\wurzel{}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n} \left(v_{i}-w_{i}\right)^{2}}[/mm]
,wobei [mm]v=\pmat{v_{1} \\ ... \\ v_{n}}, \ v_{i} \in \IR[/mm] und [mm]w=\pmat{w_{1} \\ ... \\ w_{n}}, \ w_{i} \in \IR[/mm]
>
> dann wird die Jakobi Matrix [mm]\vektor{a & b \\ c & d}[/mm]
>
> wobei [mm]a[/mm] die partielle Ableitung nach [mm]v_{1}[/mm] , b die nach
> [mm]v_{2}[/mm] , c die nach [mm]w_{1}[/mm] und d die nach [mm]w_{2}[/mm] ?
>
>
> Dasselbe dann auch bei Aufgabe d) oder?
>
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> > daumenhoch
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> > daumenhoch
>
> Danke
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>
> > Gruss
>
> Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Do 31.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
> b
b) ist demnach die Jakobimatrize:
[mm] J(f(x,y))=(\frac{1}{x-y})
[/mm]
und
d) hier ist die Jakobimatrize [mm] $J(\frac{v}{||v-w||^{n}})=\vektor{\frac{-(((v_{1}-w_{1})^{2})^{-n/2})((n-1)v_{1}+w_{1})}{v_{1}-w_{1}} \\ \frac{-(((v_{2}-w_{2})^{2})^{-n/2})((n-1)v_{2}+w_{2})}{v_{2}-w_{2}} \\ \frac{-(((v_{3}-w_{3})^{2})^{-n/2})((n-1)v_{3}+w_{3})}{v_{3}-w_{3}}\\ \vdots }
[/mm]
?
> Gruss
Danke!
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo Mathepower,
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> > b
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> b) ist demnach die Jakobimatrize:
>
> [mm]J(f(x,y))=(\frac{1}{x-y})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und
>
> d) hier ist die Jakobimatrize
> [mm]$J(\frac{v}{||v-w||^{n}})=\vektor{\frac{-(((v_{1}-w_{1})^{2})^{-n/2})((n-1)v_{1}+w_{1})}{v_{1}-w_{1}} \\ \frac{-(((v_{2}-w_{2})^{2})^{-n/2})((n-1)v_{2}+w_{2})}{v_{2}-w_{2}} \\ \frac{-(((v_{3}-w_{3})^{2})^{-n/2})((n-1)v_{3}+w_{3})}{v_{3}-w_{3}}\\ \vdots }[/mm]
>
> ?
Bedenke f ist eine vektorwertige Funktion.
Da der Vektor v n Komponenten hat, ist f nach allen diesen n Komponenten abzuleiten, d.h. als Resultat erhältst Du eine n x n-Matrix.
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> > Gruss
>
> Danke!
>
>
> Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Do 31.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo MathePower,
> nxn Matrix
C gibt immer die restlichen Terme an
es ist die erste Komponente: [mm] $v_{1} ((v_{1}-w_{1})^{2}+C)^{-n/2}$
[/mm]
abgeleitet nach [mm] $v_{1}$: $((v_{1}-w_{1})^{2}+C)^{-n/2}-\frac{n}{2}v_{1}2v_{1}2w_{1}((v_{1}-w_{1})^{2}+C)^{(-n/2)-1}$
[/mm]
Wie sehen denn die Einträge der Matrix aus? Nach unten immer eine abgeleitete $w$ komponente mehr und nach rechts immer eine $v$ Komponente dazu??
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo MathePower,
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> > nxn Matrix
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> C gibt immer die restlichen Terme an
>
> es ist die erste Komponente: [mm]v_{1} ((v_{1}-w_{1})^{2}+C)^{-n/2}[/mm]
>
> abgeleitet nach [mm]v_{1}[/mm]:
> [mm]((v_{1}-w_{1})^{2}+C)^{-n/2}-\frac{n}{2}v_{1}2v_{1}2w_{1}((v_{1}-w_{1})^{2}+C)^{(-n/2)-1}[/mm]
>
Das muss doch hier lauten:
[mm]((v_{1}-w_{1})^{2}+C)^{-n/2}-\frac{n}{2}v_{1}\blue{\left(2v_{1}-2w_{1}\right)}((v_{1}-w_{1})^{2}+C)^{(-n/2)-1}[/mm]
Das ist Eintrag an der Stelle (1,1) der Jakobi-Matrix.
>
> Wie sehen denn die Einträge der Matrix aus? Nach unten
Das sollst Du ja herausfinden.
> immer eine abgeleitete [mm]w[/mm] komponente mehr und nach rechts
> immer eine [mm]v[/mm] Komponente dazu??
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> > Gruss
>
> Danke
>
> Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Do 31.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
> Das ist Eintrag an der Stelle (1,1) der Jakobi-Matrix.
Die Ableitung nach [mm] $w_{1}$ [/mm] ist : $ [mm] (\frac{n}{2}v_{1}\left(2v_{1}-2w_{1}\right)((v_{1}-w_{1})^{2}+C)^{(-n/2)-1} [/mm] $
Dann wäre der Eintrag (1,2):
$ [mm] ((v_{2}-w_{2})^{2}+C)^{-n/2}-\frac{n}{2}v_{1}\left(2v_{2}-2w_{2}\right)((v_{2}-w_{2})^{2}+C)^{(-n/2)-1} [/mm] $
Und der Eintrag (2,1):
[mm] $\frac{df}{w_{2}}$ [/mm] ist : $ [mm] (\frac{n}{2}v_{2}\left(2v_{2}-2w_{2}\right)((v_{2}-w_{2})^{2}+C)^{(-n/2)-1} [/mm] $
Und (2,2) ist das Produkt von (2,1) und (1,2):
: $ [mm] (\frac{n}{2}v_{2}\left(2v_{2}-2w_{2}\right)((v_{2}-w_{2})^{2}+C)^{(-n/2)-1})(((v_{2}-w_{2})^{2}+C)^{-n/2}-\frac{n}{2}v_{1}\left(2v_{2}-2w_{2}\right)((v_{2}-w_{2})^{2}+C)^{(-n/2)-1}) [/mm] $
nach unten ist immer der Eintrag (2,1) mit Index n ; nach rechts der Eintrag (1,2) mit Index n; und die Diagonale das Produkt mit Index n...
Ich denke das stimmt nicht weil in der Aufgabe die Funktion als f(v) angegeben wurde, daher werde ich wohl nicht die partielle Ableitung von w brauchen...
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo Mathepower,
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> > Das ist Eintrag an der Stelle (1,1) der Jakobi-Matrix.
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> Die Ableitung nach [mm]w_{1}[/mm] ist :
> [mm](\frac{n}{2}v_{1}\left(2v_{1}-2w_{1}\right)((v_{1}-w_{1})^{2}+C)^{(-n/2)-1}[/mm]
>
> Dann wäre der Eintrag (1,2):
>
> [mm]((v_{2}-w_{2})^{2}+C)^{-n/2}-\frac{n}{2}v_{1}\left(2v_{2}-2w_{2}\right)((v_{2}-w_{2})^{2}+C)^{(-n/2)-1}[/mm]
>
> Und der Eintrag (2,1):
>
> [mm]\frac{df}{w_{2}}[/mm] ist :
> [mm](\frac{n}{2}v_{2}\left(2v_{2}-2w_{2}\right)((v_{2}-w_{2})^{2}+C)^{(-n/2)-1}[/mm]
>
>
> Und (2,2) ist das Produkt von (2,1) und (1,2):
>
> :
> [mm](\frac{n}{2}v_{2}\left(2v_{2}-2w_{2}\right)((v_{2}-w_{2})^{2}+C)^{(-n/2)-1})(((v_{2}-w_{2})^{2}+C)^{-n/2}-\frac{n}{2}v_{1}\left(2v_{2}-2w_{2}\right)((v_{2}-w_{2})^{2}+C)^{(-n/2)-1})[/mm]
>
> nach unten ist immer der Eintrag (2,1) mit Index n ; nach
> rechts der Eintrag (1,2) mit Index n; und die Diagonale das
> Produkt mit Index n...
>
>
> Ich denke das stimmt nicht weil in der Aufgabe die Funktion
> als f(v) angegeben wurde, daher werde ich wohl nicht die
> partielle Ableitung von w brauchen...
>
Das hast Du richtig erkannt.
>
> > Gruss
>
> Danke
>
> Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Do 31.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Mathepower,
$Jf=\vektor{\frac{||v-w||^{n-1}-nv_{1}(v_{1}-w_{1})}{||v-w||^{n+1}} & \frac{-nv_{1}(v_{2}-w_{2})}{||v-w||^{n+1}} & \frac{-nv_{n}(v_{n}-w_{n}}{||v-w||^{n+1}} \\ \frac{-nv_{2}(v_{1}-w_{1})}{||v-w||^{n+1}} & \ddots & \vdots \\ \vdots \\ \frac{-n(v_{n}-w_{n})}{||v-w||^{n+1} } & \cdots & \frac{||v-w||^{n-1}-nv_{1}(v_{n}-w_{n})}{||v-w||^{n+1}}$
So richtiG?
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo Mathepower,
>
>
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> [mm]Jf=\vektor{\frac{||v-w||^{n-1}-nv_{1}(v_{1}-w_{1})}{||v-w||^{n+1}} & \frac{-nv_{1}(v_{2}-w_{2})}{||v-w||^{n+1}} & \frac{-nv_{n}(v_{n}-w_{n}}{||v-w||^{n+1}} \\ \frac{-nv_{2}(v_{1}-w_{1})}{||v-w||^{n+1}} & \ddots & \vdots \\ \vdots \\ \frac{-n(v_{n}-w_{n})}{||v-w||^{n+1} } & \cdots & \frac{||v-w||^{n-1}-nv_{1}(v_{n}-w_{n})}{||v-w||^{n+1}}[/mm]
>
>
> So richtiG?
>
Die Exponenten in
[mm]\frac{||v-w||^{\red{n-1}}-nv_{1}(v_{1}-w_{1})}{||v-w||^{n+\red{1}}}[/mm]
stimmen nicht.
>
>
> > Gruss
>
> Danke
>
> Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Di 05.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
> Exponenten
Danke für die Korrektur!
Gruss
kushkush
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