Jacobimatrix < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Klempner |
| Aufgabe | a.) Bestimmen Sie die Jacobimatrix der Abbildung:
f: [mm] \IR^{3}\to \IR^{2}
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y\\ z}\mapsto \vektor{x^{2} +xyz \\ ye^{z}}
[/mm]
b.) Bestimmen Sie eine Abbildung h, die folgende Jacobimatrix besitzt
[mm] J_{h} [/mm] (x,y,z)= [mm] \pmat{ 2z & 2y & 2x \\ 0 & z^{3}& 3yz^{2}} [/mm] |
Hallo an euch!
Da ich mir bei partiellen Ableitungen noch nicht so sicher bin, wollte ich gerne von euch wissen, ob ich Aufgabe a) richtig berechnet habe:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}= \vektor{2x +yz \\ 0}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}= \vektor{xz \\ e^{z}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial z}= \vektor{xy \\ ye^{z}}
[/mm]
daraus ergibt sich folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 2x+yz & xz & xy \\ 0 & e^{z} & ye^{z}}
[/mm]
zu b.)
Bei b komme ich nicht ganz auf die Lösung.
Unten muss bei der Abbildung schon mal [mm] yz^{3} [/mm]
[mm] \vektor{ ? \\ yz^{3}} [/mm] stehen . Oben hab ich leider nicht wirklich eine Ahnung. Hab schon einiges ausprobiert. Es muss ja auf jeden Fall was mit [mm] y^{2} [/mm] enthalten. Aber 2z und 2x kann ich da nicht wirklich so reinbringen, dass alles passt. Habt ihr vielleicht eine Idee?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Sa 02.07.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> a.) Bestimmen Sie die Jacobimatrix der Abbildung:
> f: [mm]\IR^{3}\to \IR^{2}[/mm]
>
> [mm]\vektor{x \\ y\\ z}\mapsto \vektor{x^{2} +xyz \\ ye^{z}}[/mm]
>
> b.) Bestimmen Sie eine Abbildung h, die folgende
> Jacobimatrix besitzt
> [mm]J_{h}[/mm] (x,y,z)= [mm]\pmat{ 2z & 2y & 2x \\ 0 & z^{3}& 3yz^{2}}[/mm]
>
> Hallo an euch!
>
> Da ich mir bei partiellen Ableitungen noch nicht so sicher
> bin, wollte ich gerne von euch wissen, ob ich Aufgabe a)
> richtig berechnet habe:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}= \vektor{2x +yz \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}= \vektor{xz \\ e^{z}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial z}= \vektor{xy \\ ye^{z}}[/mm]
>
> daraus ergibt sich folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 2x+yz & xz & xy \\ 0 & e^{z} & ye^{z}}[/mm]
stimmt alles.
>
> zu b.)
>
> Bei b komme ich nicht ganz auf die Lösung.
> Unten muss bei der Abbildung schon mal [mm]yz^{3}[/mm]
> [mm]\vektor{ ? \\ yz^{3}}[/mm] stehen . Oben hab ich leider
Das stimmt auch schonmal.
> nicht
> wirklich eine Ahnung. Hab schon einiges ausprobiert. Es
> muss ja auf jeden Fall was mit [mm]y^{2}[/mm] enthalten. Aber 2z und
> 2x kann ich da nicht wirklich so reinbringen, dass alles
> passt. Habt ihr vielleicht eine Idee?
Wenn man die Lösung nicht durch 'scharfes hinsehen' erkennt, kannst Du auch etwas analytischer an die Sache gehn.
Ich zeigs Dir mal für die zweite Komponente.
Wir haben ja im Prinzip drei Gleichungen, die wir integrieren können:
[mm] $\frac{\partial h_2}{\partial x}=0\Rightarrow h_2(x,y,z)=c(y,z)$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial h_2}{\partial y}=z^3\Rightarrow h_2(x,y,z)=yz^3+c(x,z)$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial h_2}{\partial z}=3yz^2\Rightarrow h_2(x,y,z)=yz^3+c(x,y)$
[/mm]
Man sieht, dass die Funktion c also nur eine Konstante, also z.B. 0 sein kann.
Genauso kannst Du das auch für die erste Komponente [mm] $h_1(x,y,z)$ [/mm] machen.
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Klempner |
Hallo notinX
danke schon mal für deine Hilfe.
Allerdings komme ich mit der b.) immer noch nicht wirklich weiter. Habe es mal nach deinem Schema versucht:
[mm] \bruch{\partial h_{1}}{\partial x}= [/mm] 2z [mm] \to [/mm] x2z + [mm] c_{(y)}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial h_{1}}{\partial y}= [/mm] 2y [mm] \to y^{2} [/mm] + [mm] c_{(x,z)}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial h_{1}}{\partial z}= [/mm] 2x [mm] \to [/mm] x2z + [mm] c_{(y)}
[/mm]
demnach müsste die erste Komponente irgendwas mit [mm] y^{2}+2xz [/mm] sein, oder?
Aber das stimmt so ja nicht, denn wenn ich es wieder rückableite kommt ja nicht das gleiche heraus. Bei der Ableitung nach y kommt es ja noch hin, aber bei den anderen Ableitungen hab ich ja immernoch das [mm] y^{2}, [/mm] was stehenbleibt. wo liegt mein fehler?
|
|
|
| |
|
Hallo Klempner,
> Hallo notinX
>
> danke schon mal für deine Hilfe.
> Allerdings komme ich mit der b.) immer noch nicht wirklich
> weiter. Habe es mal nach deinem Schema versucht:
>
> [mm]\bruch{\partial h_{1}}{\partial x}=[/mm] 2z [mm]\to[/mm] x2z + [mm]c_{(y)}[/mm]
> [mm]\bruch{\partial h_{1}}{\partial y}=[/mm] 2y [mm]\to y^{2}[/mm] +
> [mm]c_{(x,z)}[/mm]
> [mm]\bruch{\partial h_{1}}{\partial z}=[/mm] 2x [mm]\to[/mm] x2z + [mm]c_{(y)}[/mm]
>
Schreibe das lieber so:
[mm]\bruch{\partial h_{1}}{\partial x}= 2z \to x2z + c_{\green{1}}(y,\blue{z})[/mm]
[mm]\bruch{\partial h_{1}}{\partial y}=2y \to y^{2} + c_{\green{2}}(x,z)[/mm]
[mm]\bruch{\partial h_{1}}{\partial z}= 2x \to x2z + c_ {\green{3}}(\blue{x},y)[/mm]
Jetzt vergleiche die erhaltenen Ausdrücke miteinander.
> demnach müsste die erste Komponente irgendwas mit
> [mm]y^{2}+2xz[/mm] sein, oder?
> Aber das stimmt so ja nicht, denn wenn ich es wieder
> rückableite kommt ja nicht das gleiche heraus. Bei der
> Ableitung nach y kommt es ja noch hin, aber bei den anderen
> Ableitungen hab ich ja immernoch das [mm]y^{2},[/mm] was
> stehenbleibt. wo liegt mein fehler?
Gruss
MathePower
|
|
|
|
