Jordan-Basis HRZ < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 06:50 Mo 29.12.2014 | | Autor: | phychem |
Hallo
Ich habe vor geraumer Zeit gelernt, dass wenn man eine Jordan-Basis einer trigonalisierbaren Matrix A mit mehreren Eigenwerten bestimmen will, man erst eine Hauptraumzerlegung durchführen muss (so steht das etwa im Buch von Gerd Fischer). Ich hab deshalb stets für jeden Eigenwert [mm] \lambda_{i} [/mm] eine Basis des zugehörigen Hauptraums bestimmt und mit der resultierenden Transformationsmatrix A in eine Blockdiagonalmatrix überführt. Erst dann hab ich für den nilpotenten Teil [mm] A_{i}-\lambda_{i}E_{u_{i}}, [/mm] wobei [mm] A_{i} [/mm] für den jeweiligen Diagonalblock und [mm] u_{i} [/mm] für die algebraische Vielfachheit von [mm] \lambda_{i} [/mm] (bzw. die Dimension des Hauptraums) steht, eine Basis bestimmt, die zur gewünschten Normalform führt.
Als ich das gerade jemandem erklären wollte, hab ich mich gefragt, warum eine solche Hauptraumzerlegung denn überhaupt notwendig ist....kann man nicht einfach direkt mit [mm] A-\lambda_{i}E_{n} [/mm] arbeiten? Zwar ist diese Matrix nicht nilpotenten, aber man kann doch einfach die Potenzen berechnen, bis man merkt, dass der Rang nicht mehr weiter abnimmt und dann mit dem bekannten Verfahren über die jeweiligen Kerne der Potenzen die gewünschte Basis des Hauptraums von [mm] \lambda_{i} [/mm] herleiten.
Hab ich jahrelang eine unnötig aufwändige Methode verwendet? Oder hat die HRZ doch ihren Sinn/Zweck? In der mir bekannten Literatur wird immer erst eine HRZ durchgeführt.....wird das nur aus "ästhetischen Gründen" (um dem Leser zu zeigen, was eigentlich dahinter steckt) gemacht?
Und wenn wir schon dabei sind: Gibt es eine einfache Methode/Trick um jeweils eine Ergänzung einer Basis von [mm] ker(A-\lambda_{i}E_{n})^{k-1} [/mm] und den bereits bekannten Mitglieder der Jordanbasis zu einer Basis von [mm] ker(A-\lambda_{i}E_{n})^{k} [/mm] zu finden. Ich tue mich damit irgendwie ein bisschen schwer...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:28 Di 30.12.2014 | | Autor: | hippias |
Die Methoden zur Bestimmung der Jordan-Zerlegung, die man in den LA Vorlesungen kennenlernt, sind nicht immer die geschicktesten. Wie es besser gehen koennte, findest Du in Buechern zur Numerik.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:59 Mi 31.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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