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Ich habe diese Jordanform gegeben und soll über die urprungsdarstellung etwas herausfinden:
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 4 }
[/mm]
Man kann hier doch folgendes herausziehen oder?
1) [mm] X_A(x)= (x-2)^3(x-4)
[/mm]
[mm] 2)dimker(A-2E_n)= [/mm] 2; dimker(a-4En)= 1
3) [mm] dimker(A-2E_n)^2 [/mm] = [mm] dimker(A-2E_n)3 =...dimker(A-2E_n)^n
[/mm]
und die Basis ist [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] v_2= \vektor{0 \\ 2 \\ 0 \\ 0} [/mm]
[mm] v_3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
[mm] v_4 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 4}
[/mm]
Lg Sandra
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> Ich habe diese Jordanform gegeben und soll über die
> urprungsdarstellung etwas herausfinden:
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> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 4 }[/mm]
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> Man kann hier doch folgendes herausziehen oder?
>
> 1) [mm]X_A(x)= (x-2)^3(x-4)[/mm]
> [mm]2)dimker(A-2E_n)=[/mm] 2;
> dimker(a-4En)= 1
> 3) [mm]dimker(A-2E_n)^2[/mm] = [mm]dimker(A-2E_n)3 =...dimker(A-2E_n)^n[/mm]
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> und die Basis ist [mm]v_1[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> [mm]v_2= \vektor{0 \\ 2 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]v_3[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0}[/mm]
> [mm]v_4[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 4}[/mm]
Hallo,
was meinst Du mit
> und die Basis ist ?
Dies hätte drei Stellen, an denen ich sofort einhaken würde:
-die Basis wovon?
-warum "die" Basis?
-was hat das mit der Ursprungsdarstellung zu tun?
> Ich habe diese Jordanform gegeben und soll über die
> urprungsdarstellung etwas herausfinden:
Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich könnte mir vorstellen, daß Du auch über Determinante und Spur etwas erzählen sollst.
Gruß v. Angela
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richtig , es gibt nicht die, sondern eine Basis!
Und dann wäre dies hier eben eine JordaBasis (unser script sagt alpha-adaptierte Basis) bezüglich der die Ursprungsdarstellungsmatrix eben diese Form hat.
Spur(J) = 10 und da ähnliche Matrizen dieselbe Spur haben, hat jede Matrix T , die diese lineare Abbildung beschreibt Spur(T) =10
Dasselbe gilt für die Determinante. Ähnliche Matrizen haben diselbe Determinante und deswegen gilt hier: det(J) = 32 und damit auch det(T) =32, nämlich die Summe der Diagonaleinträge.
Rang(J)= n
Mehr fällt mir aber echt nicht ein.
Danke für die Antworten.
Lg sandra
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> Und dann wäre dies hier eben eine JordanBasis
Genau das hätte ich befürchtet...
Die von Dir angegebenen Vektoren sind zwar eine Basis des [mm] \IR^4, [/mm] weil (zufällig) der Rang der gegebenen Matrix =4 ist.
Aber das ist nicht die Jordanbasis, mit welcher man die Ursprungsmatrix in die JNF transformiert.
Die Jordanbasis besteht aus Vektoren [mm] u_1, ...,u_4 [/mm] bzgl derer die Abbildung eben duch die vorgegebene Matrix dargestellt wird.
Was wir ablesen konnen, ist, daß [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] Eigenvektoren zum EW 2 sind, [mm] u_4 [/mm] EV zum EW 4, und daß [mm] u_2 [/mm] und [mm] u_3 [/mm] so gemacht sind, daß sie einen bzgl der Abbildung invarianten Unterraum bilden.
Du hast bestimmt in der Vergangenheit einige Jordanbasen ausgerechnet. Waren deren Koordinaten die Spalten der JNF? Eher nicht... Soooo einfach war das doch nicht.
Gruß v. Angela
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Argh, manchmal verzweifel ich selber daran, was s´ch so von mir gebe..
Vielleicht sollte ich die Sachen mal weglegen und schlafen gehen;)
Danke für die Antwort.
Um die Basis herauszubekommen müsste ich jetzt herausfinden wie die Spalten von T aussehen , welche gerade die Matrix ist, bezüglich der dann folgendes gilt:
T= [mm] \pmat{ a & b & c & d\\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p }
[/mm]
J= T^(-1) A T ...die Spalten von T wären dann die Basiselemente.
Aber das wird problematisch herauszufinden oder?
Weil wir ja A nicht kennen und nur so ein paar Angaben habe und selbst dann müsste man ein relativ "großes" Gleichungssystem lösen. Denn nur über die Spur und die Determinate wird es auch nicht so einfach möglich sein, oder doch?
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> J= T^(-1) A T ...die Spalten von T wären dann die
> Basiselemente.
>
> Aber das wird problematisch herauszufinden oder?
> Weil wir ja A nicht kennen und nur so ein paar Angaben
> habe und selbst dann müsste man ein relativ "großes"
> Gleichungssystem lösen. Denn nur über die Spur und die
> Determinate wird es auch nicht so einfach möglich sein,
> oder doch?
Ich denke nicht.
Eindeutig ist das doch sowieso nicht.
Es sind ja viele verschiedene Abbildungen denkbar, die ein und dieselbe JNF haben.#
Ich glaube, daß Du Dir darum keinen Kopf machen mußt.
Du solltest das mit den Eigenvektoren und dem invarianten Unterraum, was ich Dir im vorhergehenden Post gesagt habe, wissen.
Gruß v. Angela
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Nachdem ich nun eine Nacht über gestrigen Antworten geschlafen habe, sind mir doch noch Fragen gekommen.
Und zwar: 1) Ja, ich kann natürlich in der JordanForm die Eigenwerte ablesen, aber die Spalten sind doch nicht die Eigenvektoren oder seh ich das falsch?
2) Einen invarianten Unterraum bildet ein Unterraum dann, wenn sie invaraint unter der Abbildung bleibt, dass heißt dann [mm] f(U)\subset [/mm] U.
Das die Vektoren [mm] u_2,u_3 [/mm] einen Unterraum ist denk ich klar. (Die Spalten bilden einen Spaltenraum un d nun müsste man für die beiden Vektoren die Unerraumkriterien nachprüfen)
Aber warum sind die so dass sie invarianten Unterraum bilden?
lg sandra
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> Und zwar: 1) Ja, ich kann natürlich in der JordanForm die
> Eigenwerte ablesen, aber die Spalten sind doch nicht die
> Eigenvektoren oder seh ich das falsch?
In den Spalten stehen ja nie Vektoren, sondern die Koordinaten von Vektoren bzgl einer bestimmten Basis.
Für Deine Jordanmatrix mußtest Du [mm] u_1 [/mm] ja so wählen, daß [mm] u_1 [/mm] eine Eigenvektor von f zum EW 2 ist.
Nun ist [mm] f(u_1)=2u_1=2u_1+0*u_2+0*u_3+0*u_4. [/mm] Und genau das erzählt Dir Deine erste Spalte. Sie sagt Dir: [mm] u_1 [/mm] wir d auf ein Vielfaches von sich selber agebildet. Weil Du Dich gebildet hast, weißt Du: aha, ein Eigenvektor. Was nicht erstaunlich ist, denn die Basis ist ja extra so gemacht.
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> 2) Einen invarianten Unterraum bildet ein Unterraum dann,
> wenn sie invaraint unter der Abbildung bleibt, dass heißt
> dann [mm]f(U)\subset[/mm] U.
Ja.
>
> Das die Vektoren [mm]u_2,u_3[/mm] einen Unterraum ist denk ich klar.
> (Die Spalten bilden einen Spaltenraum un d nun müsste man
> für die beiden Vektoren die Unerraumkriterien nachprüfen)
>
> Aber warum sind die so dass sie invarianten Unterraum
> bilden?
Gruß v. Angela
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Aber warum sind die so dass sie invarianten Unterraum
bilden?
Diese Frage hattest du nicht beantwrtet, vielleicht kannst du mir ja dabei noch helfen..
Danke schön
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> Aber warum sind die so dass sie invarianten Unterraum
> bilden?
Hm, ich weiß jetzt nicht so recht, was Du wissen willst.
Man wählt die Jordanbasis halt entsprechend.
Beim Diagonalisieren hat gibt's ja eine Basis aus Eigenvektoren.
Nun ist nicht jede Matrix diagonalisierbar, da muß man sich mit einer etwas weniger einfachen Matrix zufrieden geben, mit der JNF. Da die Basis nur mit Eigenvektoren oftmals nicht klappt, wählt man die Basis dann so, daß man "Bündelchen" von Basisvektoren, die invariante Unterräume aufspannen, hinzunimmt. Es hängt mit den "Kernketten" zusammen, die Du beim Basteln der Basis betrachtest.
Gruß v. Angela
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