Jordan-Normalform < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 So 01.07.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich habe eine Frage und will diese einmal an einem Beispiel erläutern:
Ich will eine Matrix [mm] \IR^{3\times3} [/mm] in die Jordannormalform bringen,
dann sind folgende Belegstrukturen möglich.
3 verschiedene Eigenwerte [mm] \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3:
[/mm]
[mm] \pmat{ \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 }
[/mm]
Ein 2facher Eigenwert [mm] \lambda_1 [/mm] und ein 1facher Eigenwert [mm] \lambda_2:
[/mm]
[mm] \pmat{ \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 },\pmat{ \lambda_1 & 0 & 0 \\ 1 & \lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 }
[/mm]
Ein dreifacher Eigenwert [mm] \lambda:
[/mm]
[mm] \pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda },\pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda },\pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & 0 \\ 0 & 1 & \lambda }
[/mm]
Meine Frage: Man kann doch, schon bevor man die Basis, bezüglich derer die Matrix Jordannormalform besitzt, berechnet hat, sagen, wie die Nebendiagonale auszusehen hat - sprich, an welcher Stelle 0 oder 1 steht.
Aber wie/woran sieht man das?
MfG
barsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Meine Frage: Man kann doch, schon bevor man die Basis,
> bezüglich derer die Matrix Jordannormalform besitzt,
> berechnet hat, sagen, wie die Nebendiagonale auszusehen hat
> - sprich, an welcher Stelle 0 oder 1 steht.
>
> Aber wie/woran sieht man das?
Hallo,
man sieht das an der Dimension des Eigenraumes zu [mm] \lambda. [/mm]
Dimension=Anzahl der Kästchen im [mm] \lambda [/mm] - Block.
Ein Beispiel:
3x3-Matrix, [mm] \lambda [/mm] sei dreifacher Eigenwert, Dimension des Eigenraumes=2.
Dann ist [mm] \pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda } [/mm] die JNF.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 So 01.07.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
vielen Dank für die Antwort. Ich hatte mich gleich nach dieser Antwort an ein paar Aufgaben gesetzt und bin nun auf eine gestoßen, bei der ich das - aus welchem Grund auch immer - nicht so machen kann.
Ich habe folgende nilpotente Matrix:
[mm] A=\pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Da nilpotent ist einziger Eigenwert [mm] \lambda=0:
[/mm]
[mm] Kern(A-0id)=Kern(A)=\pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }=span\{
\vektor{1 \\ 0 \\ 0}\}
[/mm]
Die Dimension des Eigenraumes ist demnach 2.
Also müsste doch eigentlich folgende JNF dabei herauskommen:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Aber nach Berechnung erhält man
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Wo liegt mein Denkfehler?
MfG
barsch
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>
> Ich habe folgende nilpotente Matrix:
>
> [mm]A=\pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Da nilpotent ist einziger Eigenwert [mm]\lambda=0:[/mm]
>
> [mm]Kern(A-0id)=Kern(A)=\pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }=span\{
\vektor{1 \\ 0 \\ 0}\}[/mm]
>
> Die Dimension des Eigenraumes ist demnach 2.
Hallo,
nein, die Dimension des Eigenraumes ist doch gerade die Dimension von Kern [mm] (A-\lambda [/mm] E), im konkreten Fall ist die Dimension des zu 0 gehörenden Eigenraumes also 1.
Und dann stimmt alles, die JNF ist
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm],
wie Du ausgerechnet hattest.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 So 01.07.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
okay, danke, dann habe ich das jetzt verstanden.
Nur folgendes irritiert mich:
> der Eigenvektor stimmt nicht
Wieso stimmt der Eigenvektor nicht? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
MfG
barsch
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Hallo,
der Eigenvektor stimmt nicht, weil -
Oh. Es IST ein Eigenvektor. Ich war wirr.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 So 01.07.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Hallo,
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> der Eigenvektor stimmt nicht, weil -
>
> Oh. Es IST ein Eigenvektor. Ich war wirr.
Dann bin ich ja beruhigt  .
MfG
barsch
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