Jordan-Normalform < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:30 Di 11.08.2009 | | Autor: | moerni |
Hallo,
ich bereite mich gerade auf eine Prüfung in Linearer Algebra vor und habe eine Frage zur Jordan-Normalform:
Was ist eigentlich der Sinn der JNF? Welche Vorteile hat sie? Was kann man daraus ableiten?
Was ich zusammengetragen habe und verstanden habe ist folgendes:
Man möchte gerne einen bestimmten gegebenen Endomorphismus in möglichst einfacher Form darstellen. Man wünscht sich dabei eine Gestalt, aus der sich möglichst alle wichtigen Eigenschaften und Invarianten von f (wie Eigenwerte, Dimension der Eigenräume, Minimalpolynom usw.) direkt ablesen lassen. Die JNF genügt diesen Anforderungen. Außerdem lassen sich durch JNFen ähnliche Matrizen klassifizieren (vorausgesetzt das char. Polynom zerfällt in Linearfaktoren). Ein weiterer Vorteil der JNF ist beim errechnen von Potenzen einer Matrix: will man eine Matrix A potenzieren, ist dies oft sehr umständlich. Ist A ähnlich zur JNF J, so gibt es eine Transformationsmatrix T mit [mm] A=T^{-1}JT [/mm] und dann berechnet man einfach [mm] T^{-1}J^{n}T. [/mm]
Frage: ist das alles über den Sinn der JNF? Gibt es noch mehr Eigenschaften? Welche praktischen Anwendungen gibt es für die JNF?
Über eine hilfreiche Antwort wäre ich dankbar
moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Merle23 |
Was du geschrieben hast ist eigentlich alles richtig.
Nur wenn du in der Prüfung darüber gefragt wirst, dann solltest du etwas genauer antworten, z.B. bei der Klassifikationsfrage: Inwiefern kann die JNF dazu benutzen lineare Abbildungen zu klassifizieren? Hier musst du dann eben handfeste Aussagen liefern!
Eine weitere Anwendung die mit einfällt ist z.B. bei der Theorie gew. Diff-Gleichungen. Da muss man öfter mal [mm] e^{Matrix} [/mm] ausrechnen und das macht man am einfachsten mit der JNF von der Matrix.
Das ist im Grunde genau dasselbe was du über das Potenzieren von Matrizen gesagt hast. Nur eben am direkten Beispiel der gew. Diff-Gleichungen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:09 Mi 12.08.2009 | | Autor: | felixf |
Moin moerni,
> ich bereite mich gerade auf eine Prüfung in Linearer
> Algebra vor und habe eine Frage zur Jordan-Normalform:
> Was ist eigentlich der Sinn der JNF? Welche Vorteile hat
> sie? Was kann man daraus ableiten?
>
> Was ich zusammengetragen habe und verstanden habe ist
> folgendes:
>
> Man möchte gerne einen bestimmten gegebenen Endomorphismus
> in möglichst einfacher Form darstellen.
Das ist schon eine sehr gute Zusammenfassung.
Besonders einfach sind ja Diagonalmatrizen; man moechte also am Liebsten eine Matrix, die einer Diagonalmatrix moeglichst nahe kommt.
> Man wünscht sich
> dabei eine Gestalt, aus der sich möglichst alle wichtigen
> Eigenschaften und Invarianten von f (wie Eigenwerte,
> Dimension der Eigenräume, Minimalpolynom usw.) direkt
> ablesen lassen. Die JNF genügt diesen Anforderungen.
Ja.
> Außerdem lassen sich durch JNFen ähnliche Matrizen
> klassifizieren (vorausgesetzt das char. Polynom zerfällt
> in Linearfaktoren).
Genau.
> Ein weiterer Vorteil der JNF ist beim
> errechnen von Potenzen einer Matrix: will man eine Matrix A
> potenzieren, ist dies oft sehr umständlich. Ist A ähnlich
> zur JNF J, so gibt es eine Transformationsmatrix T mit
> [mm]A=T^{-1}JT[/mm] und dann berechnet man einfach [mm]T^{-1}J^{n}T.[/mm]
Ja. Und wie Merle gesagt hat, kann man damit auch [mm] $e^A$ [/mm] ausrechnen. (Man kann das sogar noch besser machen, mit einer Art Taylor-Entwicklung im nilpotenten Anteil.)
Alternativ kann man das uebrigens auch so machen: sei [mm] $\mu$ [/mm] das Minimalpolynom von $A$ (oder irgendein Polynom mit [mm] $\mu(A) [/mm] = 0$, etwa das charakteristische Polynom); dann schreibe [mm] $x^n [/mm] = q [mm] \mu [/mm] + r$ mit Polynomen $q, r$ und [mm] $\deg [/mm] r < [mm] \deg \mu$; [/mm] dann gilt [mm] $A^n [/mm] = r(A)$.
> Frage: ist das alles über den Sinn der JNF? Gibt es noch
> mehr Eigenschaften? Welche praktischen Anwendungen gibt es
> für die JNF?
Wie Merle schon gesagt hat, lassen sich lineare homogene gewoehnliche Differentialgleichungen damit loesen.
Weiterhin ist die JNF gerade in Beweisen von Aussagen sehr hilfreich, etwa zum Beweis, das eine Matrix genau dann diagonalisierbar ist, wenn ihr Minimalpolynom aus paarweise verschiedenen Linearfaktoren besteht.
LG Felix
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