Jordan-Normalform bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Fuffi |
| Aufgabe | Es sei [mm] B=\pmat{ 1 & -2 & 0 & -1 & 2 \\ 1 & -3 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & -1 & -3 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 2 } \in \IR^{5x5} [/mm]
a) Zeigen sie, dass B nilpotent ist und bestimmen sie das Minimalpolynom von B
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Bitte keine vollständigen Lösungen, sondern Tipps reinschreiben.
Hier meine Fragen zu der Aufgabe:
Wie zeige ich das B nilpotent ist? Einfach solange potenzieren bis ich die Nullmatrix habe oder geht das auch anders? Und noch viel wichtiger: Was hilft mir dieses Wissen dann bei der Bestimmung des Minimalpolynoms?
MfG Fuffi
Ich habe dieses Frage auf keinen anderen Internetseiten und in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
ich fürchte, Du mußt tatsächlich multiplizieren bis 0 herauskommt. Die JNF ist dann durch die Folge der Ränge dieser Potenzen eindeutig bestimmt. Wie genau der Zusammenhang ist, kannst Du Dir klarmachen indem Du dieselbe Folge von Rängen für alle in Frage kommenden JNF's ausrechnest einer nilpotenten 5*5-Matrix ausrechnest und vergleichst. Wenn das Beispiel nicht gemein ist, d.h. nur ein Jordanblock da ist, sollte ja schon die dritte Potenz verschwinden.
Volker
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:57 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Fuffi |
| Aufgabe | Ich habe Aufgabe b) oben ganz vergessen:
b) Bestimmen sie die Jordan-Normalform |
Erstmal danke für die schnelle Antwort! Du hattest recht, bereits [mm] B^{3} [/mm] ist die Nullmatrix. Aber in wie weit kann ich mit diesem Wissen das Minimalpolynom bestimmen?
zu Aufgabe b) Ich denke mal das mich da das wissen aus Aufgabenteil a) weiter bringt liege ich da richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
ich den Frage/Antwort-Baum durcheinander gebracht, aber Du wirst Dich zurechtfinden. Da [mm] B^3=0 [/mm] und Rang(B) offenbar [mm] \geq [/mm] 3 ist, kann man folgender maßen agumentieren: Wegen der Rangbedingung kommen nur solche JNFs mit mindestens 3 Einsen in Frage. Diese sind
[mm] \pmat{0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&1 \\ 0&0&0&0&0}
[/mm]
[mm] \pmat{0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0}
[/mm]
[mm] \pmat{0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1 \\ 0&0&0&0&0}
[/mm]
Davon entfallen wegen [mm] B^3=0 [/mm] die erste und zweite, so dass nur noch die dritte als mögliche JNF bleibt.
Volker
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:22 So 22.04.2007 | | Autor: | Fuffi |
Ich glaube ich habe die Aufgabe jetzt soweit verstanden. Sagt mir doch bitte ob das was ich mir dasbei gedacht habe richtig ist:
Ich habe mir den Beweis von dem Satz, dass eine Nilpotente Matrix nur den Eigenwert 0 hat angeguckt (den hatten wir in der Vorlesung nicht).
Also weiß ich, dass meine Matrix nur den Eigenwert Null hat. Also ist das char. Polynom [mm] x^{5}, [/mm] da aber [mm] A^{3} [/mm] schon die Nullmatrix ist folgt, dass das Minimalpolynom [mm] \mu_{A}=x^{3} [/mm] sein muss. Richtig soweit?
Ich hänge jetzt nur noch an der Stelle, wo du schreibst:
"Da und Rang(B) offenbar 3 ist, kann man folgender maßen agumentieren: Wegen der Rangbedingung kommen nur solche JNFs mit mindestens 3 Einsen in Frage."
Kann mir das nochmal jemand schnell erklären?
MfG
Fuffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Di 24.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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