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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Rahul_N |
Hi, ich habe diese Frage sonst nirgends gestellt und hoffe, irgendwer kann mir die Antworten bis Sonntagabend geben. da ich nicht den Beweis gänzlich hinschreiben werde, hoffe ich dass es andere hier auch kennen (u.a. nachzulesen in Fischer LA1)
Ich habe mich für die Variante über Hauptraumzerlegung und der Normalform nilpotenter Endomorphismen entschieden:
(1) F [mm] \in [/mm] End(V) ; Hauptpolynom [mm] P_F(X) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{r}(X-\lambda_i)^{d_i}; [/mm] d.h. [mm] P_F(X) [/mm] zerfällt in linearfaktoren.
(a) dann sind die Haupträume [mm] Hau(F,\lambda_i) [/mm] := [mm] Kern(F-\lambda_i)^{d_i} [/mm] F-invariant.
(b) zudem existiert bilden die Haupträume eine direkte Summe von V und
dim Hau(F, [mm] lambda_i) [/mm] = algebraische Vielfachheit von [mm] \Lambda_i [/mm] in [mm] P_F
[/mm]
(c) Als letztes lässt sich zeigen dass F = [mm] F_D [/mm] + [mm] F_N [/mm] mit [mm] F_N [/mm] nilpotent und [mm] F_D [/mm] diagonal und [mm] F_D \circ F_N [/mm] = [mm] F_N\circ F_D
[/mm]
(2) Zu jedem G [mm] \in [/mm] End(V) ; G nilpotent existieren eindeutig bestimmte Zahlen [mm] s_1,...., s_d \in \IN [/mm] mit [mm] d*s_d [/mm] + (d-1) [mm] s_d-1 +...+s_1 [/mm] = dimV
und eine Basis B von V sodass [mm] M_B [/mm] (G) überall 0 ist ausser auf blockmatrizen auf der diagonalen (die Jordankästchen)
So, jetzt konkrete Fragen zum beweis.
1: bei teil (1) ist mir unklar wie der Beweis
dim Hau(F, [mm] lambda_i) [/mm] = algebraische Vielfachheit von [mm] \Lambda_i [/mm] in [mm] P_F
[/mm]
genau Funktioniert. also
dim Kern [mm] (F-lambda_i [/mm] * [mm] E_n)^d [/mm] = d
2: wieso ist die basis zu der [mm] F_N [/mm] die normal form annimmt (1 auf der nebendiagonalen) die gleiche in der F die Jordan- normal form annimmt?
3. Wieso ist [mm] F_N [/mm] ° [mm] F_D [/mm] = [mm] F_D [/mm] ° [mm] F_N [/mm] von belang? macht das den Endomorphismus besonders anschaulich (in geometrischer hinsicht?)
hoffe die fragen sind klar genug gestellt...
Gruss Rahul
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Sa 17.12.2005 | | Autor: | moudi |
> Hi, ich habe diese Frage sonst nirgends gestellt und hoffe,
> irgendwer kann mir die Antworten bis Sonntagabend geben. da
> ich nicht den Beweis gänzlich hinschreiben werde, hoffe ich
> dass es andere hier auch kennen (u.a. nachzulesen in
> Fischer LA1)
>
> Ich habe mich für die Variante über Hauptraumzerlegung und
> der Normalform nilpotenter Endomorphismen entschieden:
>
> (1) F [mm]\in[/mm] End(V) ; Hauptpolynom [mm]P_F(X)[/mm] =
> [mm]\produkt_{i=1}^{r}(X-\lambda_i)^{d_i};[/mm] d.h. [mm]P_F(X)[/mm] zerfällt
> in linearfaktoren.
>
> (a) dann sind die Haupträume [mm]Hau(F,\lambda_i)[/mm] :=
> [mm]Kern(F-\lambda_i)^{d_i}[/mm] F-invariant.
>
> (b) zudem existiert bilden die Haupträume eine direkte
> Summe von V und
> dim Hau(F, [mm]lambda_i)[/mm] = algebraische Vielfachheit von
> [mm]\Lambda_i[/mm] in [mm]P_F[/mm]
>
> (c) Als letztes lässt sich zeigen dass F = [mm]F_D[/mm] + [mm]F_N[/mm] mit
> [mm]F_N[/mm] nilpotent und [mm]F_D[/mm] diagonal und [mm]F_D \circ F_N[/mm] = [mm]F_N\circ F_D[/mm]
>
>
> (2) Zu jedem G [mm]\in[/mm] End(V) ; G nilpotent existieren
> eindeutig bestimmte Zahlen [mm]s_1,...., s_d \in \IN[/mm] mit [mm]d*s_d[/mm]
> + (d-1) [mm]s_d-1 +...+s_1[/mm] = dimV
>
> und eine Basis B von V sodass [mm]M_B[/mm] (G) überall 0 ist ausser
> auf blockmatrizen auf der diagonalen (die Jordankästchen)
>
>
> So, jetzt konkrete Fragen zum beweis.
>
>
> 1: bei teil (1) ist mir unklar wie der Beweis
> dim Hau(F, [mm]lambda_i)[/mm] = algebraische Vielfachheit von
> [mm]\Lambda_i[/mm] in [mm]P_F[/mm]
> genau Funktioniert. also
> dim Kern [mm](F-lambda_i[/mm] * [mm]E_n)^d[/mm] = d
>
> 2: wieso ist die basis zu der [mm]F_N[/mm] die normal form annimmt
> (1 auf der nebendiagonalen) die gleiche in der F die
> Jordan- normal form annimmt?
>
Da muss man den Beweis für die Zerlegung einer Nilpotenten Abbildung anschauen. Ist N eine Nilpotente Abbildung, dann lässt sich der Vektorraum so in eine direkte Summe von unter N invarianten Unterräumen [mm] $V_i$ [/mm] zeregen, so dass [mm] $V_i$ [/mm] eine Basis [mm] $v^i_1,\dots,v^i_k$ [/mm] besitzt (eine sogenannte Jordankette) mit [mm] $N(v^i_k)=v^i_{k-1},\dots,N(v^i_2)=v^i_1,\ N(v^i_1)=0$.
[/mm]
Wenn du die Matrix von N eingeschränkt auf [mm] $V_i$ [/mm] bezüglich dieser Basis aufschreibst, so besteht sie aus 1 auf der oberen Nebendiagonale und 0 sonst.
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> 3. Wieso ist [mm]F_N[/mm] ° [mm]F_D[/mm] = [mm]F_D[/mm] ° [mm]F_N[/mm] von belang? macht das
> den Endomorphismus besonders anschaulich (in geometrischer
> hinsicht?)
>
Diese letzte Eigenschaft braucht man für die Eindeutigkeit der Jordanzerlegung. Wenn die Abbildungen nicht kommutieren, dann wären die diagonalisierbare Abbildung D und die nilpotente Abbildung N nicht eindeutig definiet.
>
> hoffe die fragen sind klar genug gestellt...
> Gruss Rahul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Sa 17.12.2005 | | Autor: | Rahul_N |
zu 2.
was klar sit dass man zeigt dass N (nilpotent) in eine obere dreiecksmatrix transformiert werden kann zu der Basis T so dass 1 auf der oberen oder unteren nebendiagonalen steht.
was aber trotzdem micht klar ist, ist dass die bei der zerlegung
F = [mm] F_D [/mm] + [mm] F_N
[/mm]
dass F (nicht der nilpotente Anteil sondern der ganze Endomorphismus) unter der gleichen Basis wie [mm] F_N [/mm]
die normal form annimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Sa 17.12.2005 | | Autor: | Rahul_N |
ich merke man kann seine Fragen nicht selber beantworten oder zurückziehen. das ist ein bisschen unpraktisch
Aber ich habe die Antwort schon heraus gefunden...
T (A- [mm] \lamda [/mm] id) T^-1 = TAT^-1 - [mm] \lamda [/mm] TT^-1 ...
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