Jordan Normalform < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Jordan-Basis und die Jornan-Normalform der folgenden Matric aus [mm] M_5(\IC):
[/mm]
[mm] A=\pmat{3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
Geben sie Explizit die Eigenräume, das charakteristische und das Minimalpolynom an. |
Um die Augfabe zu lösen brauche ich die Determinante der Matrix [mm] \lambda [/mm] I-A und da habe ich bereits mein erstes Problem. Bilde ich diese Matrix erhalte ich:
[mm] \pmat{\lambda-3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & \lambda-2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & \lambda-2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \lambda-2 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & \lambda-1}
[/mm]
Jetzt müsste ich sie auf Dreiecksform bekommen, so dass ich unter der Hauptdiagonalen nur noch 0 stehen habe aber das schaffe ich iwie nicht, da ich mit [mm] (\lambda-3) [/mm] die 1er und -1er in der 1. Spalte schon nicht wegbekomme.
Über einen Ansatz wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Mo 23.04.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
warum denn unbedingt Dreiecksform? Klar, ist die einfachste Lösung die Determinante zu berechnen, aber wie sieht's denn aus, wenn du nach La Place entwickelst?!
Z.B. nach der 1. Zeile entwickeln. Das ist zwar umständlich, aber in meinen Augen die einzig sinnvolle Art, die Determinante in diesem Fall zu berechnen.
MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
Ahsou kay ... danke :) .... dann also Entwicklung nach der 1.Zeile:
[mm] det(\lambda [/mm] I-A)= [mm] (-1)^{1+1}*(\lambda-3)*\vmat{ \lambda-2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda-1}+(-1)^{1+2}*(-1)*\vmat{\lambda-3 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & \lambda-2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & \lambda-2 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & \lambda-1}
[/mm]
Diese Entwicklung kann ich ja dann fortsetzten indem ich wieder nach der 1.Spalte bzw. Zeile entwickle:
[mm] det(\lambda I-A)=(\lambda -3)*(-1)^{1+1}*(\lambda -2)*\vmat{ \lambda-2 & -1 & 0 \\ 0 & \lambda-2 & -1 \\ 0 & 0 & \lambda-1}+(\lambda -3)*\vmat{\lambda-2 & -1 & 0 \\ 0 & \lambda-2 & -1 \\ 0 & 0 & \lambda-1}
[/mm]
Jetzt kann ich die Deterimante der Dreiecksmatritzen einfach bestimmen und habe dann:
[mm] det(\lambda I-A)=(\lambda -3)*(\lambda-2)*(\lambda-2)*(\lambda-2)*(\lambda-1)+(\lambda -3)*(\lambda-2)*(\lambda-2)*(\lambda-1)
[/mm]
[mm] det(\lambda [/mm] I-A)
Daraus erhalte ich das charakteristische Polynom:
[mm] \lambda^5-9\lambda^4+31\lambda^3-43\lambda^2+8\lambda+12
[/mm]
Wie ermittle ich daraus aber jetzt die Jordan-Normalform? Und ist das überhaupt richtg was ich da gemacht habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Di 24.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Ahsou kay ... danke :) .... dann also Entwicklung nach der
> 1.Zeile:
>
> [mm] det(\lambda{I}-A)= (-1)^{1+1}*(\lambda-3)*\vmat{ \lambda-2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda-1}+(-1)^{1+2}*(-1)*\vmat{\lambda-3 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & \lambda-2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & \lambda-2 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & \lambda-1}
[/mm]
>
Ich glaube hier ist ein Fehler, es müsste lauten
[mm] det(\lambda{I}-A)= (\lambda-3)*\vmat{ \lambda-2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda-1}+\vmat{ 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & \lambda-2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & \lambda-2 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & \lambda-1 }
[/mm]
Die erste Determinante ist klar, da sie Dreiecksform hat. Die zweite wird weiter entwickelt zu
[mm] \left|\pmat{ \lambda-2 & -1 & 0 \\ 0 & \lambda-2 & -1 \\ 0 & 0 & \lambda-1 }\right|+\left|\pmat{ -1 & -1 & 0 \\ 1 & \lambda-2 & -1 \\ -1 & 0 & \lambda-1 }\right|
[/mm]
Die erste ist wieder klar und die zweite ergibt
[mm] (-1)\left|\pmat{ \lambda-2 & -1 \\ 0 & \lambda-1 }\right|+\left|\pmat{ 1 & -1 \\ -1 & \lambda-1 }\right|=-(\lambda-2)(\lambda-1)+(\lambda-2) [/mm] s.d sich insgesamt ergibt
[mm] det(\lambda{I}-A)=(\lambda-3)(\lambda-2)^3(\lambda-1)+(\lambda-2)^2(\lambda-1)-(\lambda-2)(\lambda-1)+(\lambda-2) [/mm] und durch umformen und ausklammern folgt
[mm] det(\lambda{I}-A)=(\lambda-2)^5
[/mm]
mfg ullim
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:07 Di 24.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
Ahh ..genau ... danke :) ... dann lautet die jordan-Normalform:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 }
[/mm]
Dies könnte auch stimmen, da Rang und Spur gleich der von A sind.
Aber wie ist das mit den 1en?
Ich habe sie einfach mal wie in diesem Topic beschrieben (![[]](/images/popup.gif) https://matheraum.de/read?t=80752&v=t gesetzt. Ist das Richtig?
Und wie bekomme ich da jetzt die Jordan-Basis zu?
Achso und das Minimalpolynom ist dann ja: [mm] m(\lambda)=(\lambda-2) [/mm] oder?
Und als Eingenwert habe ich: [mm] \lambda=2
[/mm]
Daraus folgen dann die Eigenvektoren:
aus $ [mm] M_5(\IC): [/mm] $
[mm] (\pmat{3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1}-2*\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 })*\vec [/mm] x = 0
[mm] =>\pmat{1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -1}*\vec [/mm] x=0
=> das Gleichungssystem: [mm] \pmat{1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 }\to\pmat{1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }\to\pmat{1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \to\pmat{0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Wähle [mm] x_5=1 [/mm] => [mm] v_1=\pmat{1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 } [/mm]
Also ist mein Eigenraum: [mm] <\pmat{1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 }> [/mm] oder?
Dann haben ich die Aufgabe eig außer eben der Jordan-Basis von welcher ich nicht weiß wie ermitteln. Da wäre ich über Hilfe noch sehr dankbar und natürlich auch über evtl. Korrektur dessen was ich hier gemacht habe ;) :)
Danke schon mal im Vorraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 26.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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