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Ich habe eine Verständnisfrage zur Jordan Normalform.
Wenn wir zum Beispiel nen Polynom dritten Grades haben z.b. zum EW 1
aber der Kern nur ein dimesnional ist, dann führt man eine Hauptraumzerlegung durch, so lange man drei linear unabhängige Basisvektoren hat.
Meine Frage ist nun, ob die Reihenfolge der basisvektoren wichtig ist und falls ja wie wird diese richtig angeordnet?
Hoffe man kanns nen bisschen nachvollziehen.
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Hallo martinmax1234,
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> Ich habe eine Verständnisfrage zur Jordan Normalform.
> Wenn wir zum Beispiel nen Polynom dritten Grades haben
> z.b. zum EW 1
> aber der Kern nur ein dimesnional ist, dann führt man
> eine Hauptraumzerlegung durch, so lange man drei linear
> unabhängige Basisvektoren hat.
Ja.
>
> Meine Frage ist nun, ob die Reihenfolge der basisvektoren
> wichtig ist und falls ja wie wird diese richtig
> angeordnet?
Sei [mm]v_{1}[/mm] ein Vektor aus Kern(...),
[mm]v_{2}[/mm] ein Vektor aus Kern[mm]((...)^2)[/mm],
[mm]v_{3}[/mm] ein Vektor aus Kern[mm]((...)^3)[/mm].
Dann werden die in der Matrix so angeordnet:
[mm]\pmat{v_{1} & v_{2} & v_{3}}[/mm]
oder
[mm]\pmat{v_{3} & v_{2} & v_{1}}[/mm]
Das kommt darauf an, wie die JNF lauten soll.
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> Hoffe man kanns nen bisschen nachvollziehen.
>
>
Gruss
MathePower
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Ich bin da gerade bei einer Aufgabe und finde meinen Fehler nicht:-(
Ich will die Transformationsmatrix und die Jordannform berechnen von der Matrix A:
[mm]A=\pmat{-2 & -3 & 2\\
1 & 1 & -1\\
-1 & -2 & 1}[/mm]
Charakteristsiches Polynom ist [mm] P=-x^3
[/mm]
Kern(A)= [mm]\pmat{1\\
0\\
1}[/mm]
[mm]A^2=\pmat{-1 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0\\
-1 & -1 & 1}[/mm]
[mm] kern(A^2)=[/mm] [mm]\pmat{1\\
0\\
1}, \pmat{0\\
1\\
1}[/mm]
[mm] A^3 [/mm] ist die Nullmatrix. Mir fehlt aber ein Basisvektor, also ergänze ich [mm]\pmat{1\\
0\\
0}[/mm] zu einer lin. unab. Basis.
Da ja gelten muss [mm] kern(A^3) [/mm] \ [mm] kern(A^2)
[/mm]
ist [mm]v_1=[/mm]= [mm]\pmat{1\\
0\\
0}[/mm] unser erste Basisvektor.
Es folgt: [mm]v_2=[/mm]A*[mm]\pmat{1\\
0\\
0}[/mm]=[mm]\pmat{-2\\
1\\
-1}[/mm] und [mm]v_3=[/mm]A*[mm]\pmat{1\\
0\\
0}[/mm]=[mm]\pmat{-1\\
0\\
-1}[/mm]
Wenn ich dich richtig verstanden habesieht meine Matrix ja so aus
([mm]v_3[/mm] [mm]v_2[/mm] [mm]v_1[/mm])
Es klappt heir aber nicht. Wo ist mein fehler?
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Hallo martinmax1234,
> Ich bin da gerade bei einer Aufgabe und finde meinen Fehler
> nicht:-(
> Ich will die Transformationsmatrix und die Jordannform
> berechnen von der Matrix A:
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> [mm]A=\pmat{-2 & -3 & 2\\
1 & 1 & -1\\
-1 & -2 & 1}[/mm]
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> Charakteristsiches Polynom ist [mm]P=-x^3[/mm]
>
> Kern(A)= [mm]\pmat{1\\
0\\
1}[/mm]
>
> [mm]A^2=\pmat{-1 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0\\
-1 & -1 & 1}[/mm]
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> [mm]kern(A^2)=[/mm] [mm]\pmat{1\\
0\\
1}, \pmat{0\\
1\\
1}[/mm]
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> [mm]A^3[/mm] ist die Nullmatrix. Mir fehlt aber ein Basisvektor,
> also ergänze ich [mm]\pmat{1\\
0\\
0}[/mm] zu einer lin. unab.
> Basis.
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> Da ja gelten muss [mm]kern(A^3)[/mm] \ [mm]kern(A^2)[/mm]
>
> ist [mm]v_1=[/mm]= [mm]\pmat{1\\
0\\
0}[/mm] unser erste Basisvektor.
> Es folgt: [mm]v_2=[/mm]A*[mm]\pmat{1\\
0\\
0}[/mm]=[mm]\pmat{-2\\
1\\
-1}[/mm]
> und [mm]v_3=[/mm]A*[mm]\pmat{1\\
0\\
0}[/mm]=[mm]\pmat{-1\\
0\\
-1}[/mm]
>
> Wenn ich dich richtig verstanden habesieht meine Matrix ja
> so aus
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> ([mm]v_3[/mm] [mm]v_2[/mm] [mm]v_1[/mm])
>
> Es klappt heir aber nicht. Wo ist mein fehler?
>
Die ermittelten Vektoren stimmen,
die Anordnung dieser Vektoren in der Matrix auch.
Daher muss der Fehler woanders liegen.
Gruss
MathePower
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Oki mein Fehler war beim invertieren. Danke nochmal.
Kann es eigentlich vorkommen, dass die Anordnung, die du mir erklärt hast mal nicht funktioniert?
Du hast mir doch gesagt, dass in die erste Spalte der erste vektor kommt der im kern(A) ist, Kann es passieren, dass ich nen Vektor habe, der in gar keinen Haupträumen ist?
Zum Beispiel war das ja der Fall bei meinem [mm]v_2[/mm] Basisvektor
Explizit war er nicht in meinem [mm] Kern(A^2) [/mm] aufgeschrieben. Er war aber ne linearkombination von den beiden einzelnen.
Da gehe ich davon asu, dass man das dann so amchen muss.
vielen dank
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Hallo martinmax1234,
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> Oki mein Fehler war beim invertieren. Danke nochmal.
> Kann es eigentlich vorkommen, dass die Anordnung, die du
> mir erklärt hast mal nicht funktioniert?
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> Du hast mir doch gesagt, dass in die erste Spalte der erste
> vektor kommt der im kern(A) ist, Kann es passieren, dass
> ich nen Vektor habe, der in gar keinen Haupträumen ist?
Nein, das kann nicht sein, da Kern[mm]\left( \ \left(...\right)^{n} \ \right) \subseteq [/mm] Kern[mm]\left( \ \left(...\right)^{n+1} \ \right)[/mm]
>
> Zum Beispiel war das ja der Fall bei meinem [mm]v_2[/mm]
> Basisvektor
> Explizit war er nicht in meinem [mm]Kern(A^2)[/mm] aufgeschrieben.
> Er war aber ne linearkombination von den beiden einzelnen.
> Da gehe ich davon asu, dass man das dann so amchen muss.
>
>
> vielen dank
>
Gruss
MathePower
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ich hab noch eine Frage zur Anordnung Basisvektoren
Wenn das Charakterisrsiche Polynom so ausschaut:
[mm] P=x^4 [/mm] und das Minimalpolynom [mm] x^2 [/mm] ist, erhalte ich folgendes:
kern(A) hat zwei Basisvektoren, sagen wir v1 und v2
[mm] Kern(A^2) [/mm] ist schon die Nullmatrix, also ergänze ich meine zwei basen aus kern(A) zwei weitere hinzu v3 und v4. Kleine zwischenfrage. Hier muss ich doch aufpassen, dass die basen aus [mm] kern(A^2) [/mm] linear unabhängig sind.
Jetzt folgt [mm] kern(A^2) [/mm] \ kern(A)
also suche ich mir v3 oder v4 aus.
Dann folgt:
A*v4=v2
[mm] A^2*v4 [/mm] ist aber der Nullvektor
Ich ahbe nun zwei Basisvektoren und brauche noch zweie. Ich nehme dann einfach einen aus kern(A)
also unseren v1 und den aus v3? Oder muss ich wieder A*v1 bilden und das ist mein 4. basisvektor
Wie sieht die anordnung dann aus?
Würde folgende anordnung amchen (v1 v2 v3 v4 )
Zuerst die basen aus dem kern(A) und dann die anderen.
Vielen dank
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Hallo martinmax1234,
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> ich hab noch eine Frage zur Anordnung Basisvektoren
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> Wenn das Charakterisrsiche Polynom so ausschaut:
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> [mm]P=x^4[/mm] und das Minimalpolynom [mm]x^2[/mm] ist, erhalte ich
> folgendes:
>
> kern(A) hat zwei Basisvektoren, sagen wir v1 und v2
> [mm]Kern(A^2)[/mm] ist schon die Nullmatrix, also ergänze ich
> meine zwei basen aus kern(A) zwei weitere hinzu v3 und v4.
> Kleine zwischenfrage. Hier muss ich doch aufpassen, dass
> die basen aus [mm]kern(A^2)[/mm] linear unabhängig sind.
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> Jetzt folgt [mm]kern(A^2)[/mm] \ kern(A)
> also suche ich mir v3 oder v4 aus.
>
> Dann folgt:
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> A*v4=v2
> [mm]A^2*v4[/mm] ist aber der Nullvektor
>
> Ich ahbe nun zwei Basisvektoren und brauche noch zweie. Ich
> nehme dann einfach einen aus kern(A)
> also unseren v1 und den aus v3? Oder muss ich wieder A*v1
> bilden und das ist mein 4. basisvektor
> Wie sieht die anordnung dann aus?
>
> Würde folgende anordnung amchen (v1 v2 v3 v4 )
> Zuerst die basen aus dem kern(A) und dann die anderen.
>
Nein.
Da [mm]v_{3}, \ v_{4}[/mm] aus [mm]kern(A^2)[/mm] und
A nilpotent vom Grad 2 ist, ist eine Basis:
[mm]\pmat{v_{3} & Av_{3} & v_{4} & Av_{4}}[/mm]
bzw.
[mm]\pmat{v_{3} & v_{1} & v_{4} & v_{2}}[/mm]
>
> Vielen dank
>
Gruss
MathePower
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