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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:44 Fr 02.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Guten abend zusammen.
Ich habe nochmal eine Frage zur Bestimmung der Jordanblöcke, und zwar sei folgende Matrix gegeben:
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 }
[/mm]
charcteristisches Polynom lautet: (1- [mm] \lambda)^4.
[/mm]
[mm] dimker(A-E)=2=n_1
[/mm]
[mm] dimker(A-E)^2=3=n_3
[/mm]
[mm] dimker(A-E)^3=4=n_3 [/mm] ( [mm] dimker(A-E)^3 [/mm] ist stationär)
Diese Werte stimmen ganz sicher. brauch sich also keiner die Mühe zu machen, sie extra nachzurechnen.
Weiter gilt ja:
dim Kern A =Anzahl der Blöcke
dim Kern [mm] A^2= [/mm] Anzahl der Blöcke+Anzahl der Blöcke mit Größe 2
dim Kern [mm] A^3= [/mm] Anzahl der Blöcke+ Anzahl der Blöcke mit Größe 2+Anzahl der Blöcke mit Größe 3
demnach würde ja also folgen:
[mm] n_1= [/mm] 2. Es gibt also insg. 2 Jordanblöcke.
[mm] n_2-n_1=3-2=1 [/mm] Jordanblock des Formates 2x2.
[mm] n_3-n_2=4-3=1 [/mm] Jordanblock des Formates 3x3.
Da es aber eien 4x4 Matrix ist, kann das Ergebniss ja schon nicht stimmen.
Die Dimension des Hauptraumes ist ja dimHau=3. das bedeutet ja, das der längste Jordanblöck das Format 3x3 hat, oder?! Also würde ich vermuten, das der 3x3 Jordanblock stimmt. nur für den 2x2 Jordanblock bleibt "kein Platz" mehr. Kann das sein, das er in so einem Fall nicht eingetragen wird, und event. durch einen 1x1 Block ersetzt wird!?
Wäre nett wenn mir da einer kurz was sagen könnte, wo und ob ich da ne'n Fehler, oder ein Verständnissproblem hab.
Vielen Dank im vorraus.
Gruß Benno
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Fr 02.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Ich habe nochmal eine Frage zur Bestimmung der
> Jordanblöcke, und zwar sei folgende Matrix gegeben:
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 }[/mm]
>
> charcteristisches Polynom lautet: (1- [mm]\lambda)^4.[/mm]
> [mm]dimker(A-E)=2=n_1[/mm]
> [mm]dimker(A-E)^2=3=n_3[/mm]
> [mm]dimker(A-E)^3=4=n_3[/mm] ( [mm]dimker(A-E)^3[/mm] ist stationär)
Es gilt:
Die Anzahl der Jordanblöcke, deren Diagonale mit [mm] $\lambda$ [/mm] besetzt ist, und die mindestens die Größe $j$ haben, berechnet man mittels:
[mm] $Rang[(A-\lambda E_n)^{j-1}] [/mm] - [mm] Rang[(A-\lambda E_n)^j]$. [/mm]
Insbesondere ist
$n -Rang[A- [mm] \lambda E_n] [/mm] = [mm] \dim( Kern[A-\lambda E_n])$ [/mm]
die Anzahl der Jordanblöcke überhaupt, deren Diagonale mit [mm] $\lambda$ [/mm] besetzt ist.
Die genaue Anzahl der Jordanblöcke der Größe $j$, deren Diagonale mit [mm] $\lambda$ [/mm] besetzt ist, ist dementsprechend gleich:
$Rang[(A- [mm] \lambda E_n)^{j+1}] [/mm] - 2Rang[(A- [mm] \lambda E_n)^{j}] [/mm] + Rang[(A- [mm] \lambda E_n)^{j-1}]$. [/mm]
Bei dir haben also nach der ersten Formel (beachte: [mm] $Rang[(A-E_n)^j] [/mm] = 4- [mm] \dim(Kern[(A-E_n)^j]$):
[/mm]
- mindestens zwei Blöcke die Größe 1
- mindestens ein Block die Größe 2
- mindestens ein Block die Größe 3
Daraus sieht man schon, dass es genau einen Block der Größe 1 geben muss und einen der Größe 3.
Wir können es aber mit der letzten Formel auch noch einmal nachrechnen:
genaue Anzahl der Blöcke der Größe 1: [mm] $1-2\cdot [/mm] 2+4=1$
genaue Anzahl der Blöcke der Größe 2: [mm] $0-2\cdot [/mm] 1 + 2=0$
genaue Anzahl der Blöcke der Größe 3: $0 - 2 [mm] \cdot [/mm] 0 + 1=1$.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Fr 02.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo Julius.
Erstmal danke für deine Antwort.
Also wenn ich die Jordanblöcke nach deiner "angegebenen Formel" berechne, sprich Rang[(A- [mm] \lambdaE)^j+1]-2Rang[(A- \lambdaE)^j]+Rang[(A- \lambdaE)^j-1] [/mm] ist mir das Ergebniss klar. Danke.
Zuvor hast du, auf eine ähnliche Art wie ich, auf die Göße der Jordanblöcke mit folgender "Formel" geschlossen:
[mm] Rang[(A-E)^j]=4-dim(Kern[(A-E)^j]).
[/mm]
-mindestens zwei Blöcke der Größe 1
-mindestens zwei Blöcke der Größe 2
-mindestens zwei Blöcke der Größe 3
war dein Ergebniss. Ich wollte an dieser Stelle nur nochmal kurz nachfragen ob ich folgenden Punkt jetzt so richtig verstanden habe:
Da es zwei Blöcke der Größe größer gleich 1 gibt, 1 Block der Größe größergleich 2 und einen der Größe größergleich 3, kann es nur die Kombination aus dem einen "3-er BLock und den 1- ner Block "geben, da ich mit dem einen 2x2 Block und dem 1x1 Block höchstens aus dim 3 käme,ja?! Frage wirkt wohl was trivial, aber wollte nur noch mal eben sicher gehen.
Danke nochmal im vorraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Fr 02.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Da es einen Block mit einer Größe mindestens von drei gibt, gibt es genau einen Block mit einer Größe mindestens von drei. Denn zwei kann es nicht geben (zuviel), und einen Block der Größe vier kann es auch nicht geben (da es zwei Blöcke mindestens der Größe eins gibt). Gibt es aber genau einen Block der Größe drei, so bleibt nur noch Platz für einen Block der Größe eins.
Liebe Grüße
Julius
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