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| Aufgabe | Übungsaufgabe,
alles rund um Jordan
Übung anhand der Matrix
A:= [mm] \pmat{ -1 & 2 & 2\\ 2 & -1 & -2 \\ -2 & 2 & 3 } [/mm] |
huhu,
ich möchte dieses Thema einüben und mal alles durchgehen, was man hier so macht. Dazu habe ich ne echt coole Seite gefunden in nem Kochbuch ;)
http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf
also ich möchte hier, wenns möglich ist, alles so ein bisschen durchgehen was man kann.
als erstes berechne ich das charakteristische Polynom, was unser Prof so schön "chi" nennt oder sowas^^:
[mm] \vmat{ \lambda +1 & -2 & -2\\ -2 & \lambda + 1 & 2 \\ 2 & -2 & \lambda -3 }
[/mm]
= [mm] (\lambda+1) \* (\lambda+1) \* (\lambda [/mm] -3) -8-8 +4 [mm] \lambda [/mm] + 4 +4 [mm] \lambda [/mm] +4 -4 [mm] \lambda [/mm] + 12
[mm] =\lambda^3 [/mm] - [mm] \lambda^2 [/mm] - [mm] \lambda [/mm] +1 (=0)
= [mm] (\lambda -1)\* (\lambda+1)\* (\lambda-1) [/mm] (=0)
dann ist also das char. polynom gegeben durch [mm] (\lambda-1)^2 \* (\lambda [/mm] +1)
woraus sich ein Eigenwert [mm] \lambda_{1,2} [/mm] = 1 ergibt mit algebraischer Vielfachheit 2 und ein einfacher Eigenwert mit [mm] \lambda_3 [/mm] = -1 ,mit algebraischer Vielfachheit 1.
Durch Lösung diverser linearer Gleichungssysteme erhalte ich nun
für [mm] \lambda_{1,2} [/mm] = 1 die Eigenvektoren [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
für [mm] \lambda_3 [/mm] = -1 den EV : [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1 } [/mm]
also entsprechen jeweils die Geometrische und algebraische Vielfachheit.
an dieser Stelle möchte ich 2 Fragen loswerden:
1. Die Länge des Blocks ist so gemeint, ob es eine 1x1 ( Länge 1 ) etc... nxn ( Länge n) Matrix ist oder? diese ist ja gleich der alg. Vielfachheit.
"Die Anzahl der Kästchen" entspricht der dim. der Eigenräume. hmm. Anzahl welcher Kästchen? Das verwirrt mich ein bisschen.
2. Minimalpolynom, wohl eine wichtige Frage:
Das Minimalpolynom, ist, sofern ich es verstanden habe, das kleinste Polynom, dass das char. Polynom ohne Rest teilen kann, oder?
wenn ich z.b. mein Polynom
[mm] (\lambda-1)^2 \* (\lambda [/mm] +1)
habe, muss man im Regelfall fürs kleinste Polynom nicht einfach die Exponenten senken, also z.b. wäre ( meiner Meinung nach) hier das kleinste minimalpolynom
[mm] (\lambda-1) \* (\lambda [/mm] +1)
und allgemein mein ich es so:
char. Polynom : [mm] (\lambda [/mm] + b )^44 [mm] \* (\lambda [/mm] - [mm] a)^3
[/mm]
=> m. Polynom: [mm] (\lambda [/mm] + b [mm] )^1 \* (\lambda [/mm] - [mm] a)^1
[/mm]
ist dies korrekt?
---------------------------------
Weiter gehts:
als nächstes muss ich doch Folgendes berechnen :
und zwar die Matrix die ich habe, wenn ich den EW eingesetzt habe und davon die dim der (einer) basis des Kerns :
[mm] kern(1\* [/mm] In -A) und kern [mm] (-1\* [/mm] In -A)
und dies
kern(1 [mm] \* [/mm] In [mm] -A)^2 [/mm] kern(-1 [mm] \* [/mm] In [mm] -A)^2
[/mm]
solange Exponenten erhöhen, bis der Kern die dimension der Matrix A hat oder? Ich weiß allerdings nicht so rechts, was dies für einen Sinn hat:
kern(In -A) = dim 2 kern (-In -A)= dim 1
(so hab ich ja die Eigenräume bestimmt)
kern(In [mm] -A)^2 [/mm] =kern [mm] \pmat{4 & -4 & -4 \\ -4 & 4 & 4 \\ 4 & -4 & -4}
[/mm]
nach Rechnen: Dimension 2
[mm] kern(-In-A)^2 [/mm] = Dimension 2 (abgelesen nach Matrizmultiplikation)
Übrigens hat meine Ausgangsmatrix 2 lin. unabhängige Zeile/spalten
also muss ich nun nicht mehr höherwertige Matrizen bilden wie [mm] (1-A)^3, [/mm] da die dim jetzt schon gleich der Ausgangsmatriz ist.
Soooo , ich denke ich müsste alles beisammen haben, um die Jordanmatrix zu kochen. Wie bastel ich sie nun? ich hab Längen und Anzahl Kästchen, ich hab EW und EV. Und die letzte Überprüfung, die ich nicht ganz versteh wieso man sie macht.
Wie gehts ans Eingemachte?
Lg, Eve
(und danke schonmal an diejenigen, die das mit mir durchgehen ;) )
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> Übungsaufgabe,
> alles rund um Jordan
> Übung anhand der Matrix
>
> A:= [mm]\pmat{ -1 & 2 & 2\\
2 & -1 & -2 \\
-2 & 2 & 3 }[/mm]
> huhu,
>
> ich möchte dieses Thema einüben und mal alles durchgehen,
> was man hier so macht. Dazu habe ich ne echt coole Seite
> gefunden in nem Kochbuch ;)
> http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf
>
> also ich möchte hier, wenns möglich ist, alles so ein
> bisschen durchgehen was man kann.
>
> als erstes berechne ich das charakteristische Polynom, was
> unser Prof so schön "chi" nennt oder sowas^^:
Wie würdest du es bezeichnen?
>
> [mm]\blue{A:=}\vmat{ \lambda +1 & -2 & -2\\
-2 & \lambda + 1 & 2 \\
2 & -2 & \lambda -3 }[/mm]
>
> = [mm](\lambda+1) \* (\lambda+1) \* (\lambda[/mm] -3) -8-8 +4
> [mm]\lambda[/mm] + 4 +4 [mm]\lambda[/mm] +4 -4 [mm]\lambda[/mm] + 12
>
> [mm]=\lambda^3[/mm] - [mm]\lambda^2[/mm] - [mm]\lambda[/mm] +1 (=0)
> = [mm](\lambda -1)\* (\lambda+1)\* (\lambda-1)[/mm] (=0)
>
> dann ist also das char. polynom gegeben durch [mm](\lambda-1)^2 \* (\lambda[/mm]
> +1)
Ja [mm]\chi_A=(\lambda-1)^2(\lambda+1)[/mm]
>
> woraus sich ein Eigenwert [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = 1 ergibt mit
> algebraischer Vielfachheit 2 und ein einfacher Eigenwert
> mit [mm]\lambda_3[/mm] = -1 ,mit algebraischer Vielfachheit 1.
>
> Durch Lösung diverser linearer Gleichungssysteme erhalte
> ich nun
> für [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = 1 die Eigenvektoren [mm]\vektor{1 \\
1 \\
0 }[/mm]
> und [mm]\vektor{1 \\
0 \\
1}[/mm]
> für [mm]\lambda_3[/mm] = -1 den EV :
> [mm]\vektor{1 \\
-1 \\
1 }[/mm]
Ist richtig.
> also entsprechen jeweils die Geometrische und algebraische
> Vielfachheit.
Hier im konkreten Fall stimmt das.
>
> an dieser Stelle möchte ich 2 Fragen loswerden:
>
> 1. Die Länge des Blocks ist so gemeint, ob es eine 1x1 (
> Länge 1 ) etc... nxn ( Länge n) Matrix ist oder? diese
> ist ja gleich der alg. Vielfachheit.
> "Die Anzahl der Kästchen" entspricht der dim. der
> Eigenräume. hmm. Anzahl welcher Kästchen? Das verwirrt
> mich ein bisschen.
Ein Jordankästchen zum Eigentwert [mm]\lambda[/mm] der Größe (Länge) k ist
[mm]J_k(\lambda)= \pmat{ \lambda & 1 & & & 0 \\
& \lambda & 1 & & \\
&& \ddots{} & \ddots{}\\
&&& \lambda & 1 \\
0 & & & & \lambda } \in K^{k\times k}[/mm]
Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension vom Eigenraum zu Eigenwert [mm]\lambda[/mm]. Das ist die Anzahl der Jordankästchen.
Die algebraische Vielfachheit ist die Anzahl der Zeilen, auf denen später der Eigenwert in der Diagonalen steht.
Bsp:
[mm]\lambda_1[/mm] mit algebr. Vielf. 3 und geom. Vielf. 1
[mm]\lambda_2[/mm] mit algebr. Vielf. 2 und geom. Vielf. 2
[mm]\lambda_3[/mm] mit algebr. Vielf. 4 und geom. Vielf. 3
[mm]\left(\begin{array}{ccc|c|c|c|c|cc}\lambda_1 & 1 & & & & & & & \\
& \lambda_1 & 1 & & & & & & \\
& & \lambda_1 & & & & & & \\
\hline& & & \lambda_2 & & & & & \\
\hline& & & & \lambda_2 & & & & \\
\hline& & & & & \lambda_3 & & & \\
\hline& & & & & & \lambda_3 & &\\
\hline& & & & & & & \lambda_3 & 1\\
& & & & & & & & \lambda_3\end{array}\right)[/mm]
>
> 2. Minimalpolynom, wohl eine wichtige Frage:
>
> Das Minimalpolynom, ist, sofern ich es verstanden habe, das
> kleinste Polynom, dass das char. Polynom ohne Rest teilen
> kann, oder?
Nein! Das Minimalpolynom [mm]\mu[/mm] teilt zwar stets das charakteristische Polynom [mm]\mu\mid \chi[/mm]. Es ist aber nicht das kleinste Polynom. Das Kleinste Polynom, dass ALLE anderen Polynome teilt ist schließlich 1. Für das Minimalpolynom muss noch gelten, dass die Matrix A eine Nullstelle von [mm]\mu[/mm] ist, d.h. [mm] $\mu(A)=0$
[/mm]
> wenn ich z.b. mein Polynom
>
> [mm](\lambda-1)^2 \* (\lambda[/mm] +1)
>
> habe, muss man im Regelfall fürs kleinste Polynom nicht
> einfach die Exponenten senken, also z.b. wäre ( meiner
> Meinung nach) hier das kleinste minimalpolynom
>
>
> [mm](\lambda-1) \* (\lambda[/mm] +1)
>
> und allgemein mein ich es so:
> char. Polynom : [mm](\lambda[/mm] + b )^44 [mm]\* (\lambda[/mm] - [mm]a)^3[/mm]
> => m. Polynom: [mm](\lambda[/mm] + b [mm])^1 \* (\lambda[/mm] - [mm]a)^1[/mm]
>
> ist dies korrekt?
>
>
>
>
>
>
>
>
> ---------------------------------
> Weiter gehts:
> als nächstes muss ich doch Folgendes berechnen :
> und zwar die Matrix die ich habe, wenn ich den EW
> eingesetzt habe und davon die dim der (einer) basis des
> Kerns :
>
> [mm]kern(1\*[/mm] In -A) und kern [mm](-1\*[/mm] In -A)
>
> und dies
> kern(1 [mm]\*[/mm] In [mm]-A)^2[/mm] kern(-1 [mm]\*[/mm] In [mm]-A)^2[/mm]
> solange Exponenten erhöhen, bis der Kern die dimension
> der Matrix A hat oder?
Lies dir noch einmal deinen Link durch. Ich glaube kaum, dass dies dadrin steht, da es falsch ist.
> Ich weiß allerdings nicht so
> rechts, was dies für einen Sinn hat:
Dazu muss man den Beweis sich für die JNF anschauen. Da stellt man als erstes fest, dass eine Kette von Kernen gibt, deren Dimension ansteigt.
>
>
> kern(In -A) = dim 2 kern (-In -A)= dim 1
> (so hab ich ja die Eigenräume bestimmt)
>
> kern(In [mm]-A)^2[/mm] =kern [mm]\pmat{4 & -4 & -4 \\
-4 & 4 & 4 \\
4 & -4 & -4}[/mm]
>
> nach Rechnen: Dimension 2
>
> [mm]kern(-In-A)^2[/mm] = Dimension 2 (abgelesen nach
> Matrizmultiplikation)
>
> Übrigens hat meine Ausgangsmatrix 2 lin. unabhängige
> Zeile/spalten
>
> also muss ich nun nicht mehr höherwertige Matrizen bilden
> wie [mm](1-A)^3,[/mm] da die dim jetzt schon gleich der
> Ausgangsmatriz ist.
Was ist bei dir die Dimension der Ausgangsmatrix. Ich habe jetzt mir das Kochrezept noch einmal angeschaut. Siehe dort Seite 3.
>
> Soooo , ich denke ich müsste alles beisammen haben, um die
> Jordanmatrix zu kochen. Wie bastel ich sie nun? ich hab
> Längen und Anzahl Kästchen, ich hab EW und EV. Und die
> letzte Überprüfung, die ich nicht ganz versteh wieso man
> sie macht.
Bei dem aktuellen Beispiel kann man die JNF ablesen:
[mm] $\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1}$, [/mm] da wg. der lin. Unabhängigkeit der Basisvektoren der Eigenräume die Matrix diagonalisierbar ist.
>
> Wie gehts ans Eingemachte?
>
>
>
> Lg, Eve
> (und danke schonmal an diejenigen, die das mit mir
> durchgehen ;) )
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> > Übungsaufgabe,
> > alles rund um Jordan
> > Übung anhand der Matrix
> >
> > A:= [mm]\pmat{ -1 & 2 & 2\\
2 & -1 & -2 \\
-2 & 2 & 3 }[/mm]
> >
hey ;)
> > ich möchte dieses Thema einüben und mal alles durchgehen,
> > was man hier so macht. Dazu habe ich ne echt coole Seite
> > gefunden in nem Kochbuch ;)
> > http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf
> >
> > also ich möchte hier, wenns möglich ist, alles so ein
> > bisschen durchgehen was man kann.
> >
> > als erstes berechne ich das charakteristische Polynom, was
> > unser Prof so schön "chi" nennt oder sowas^^:
> Wie würdest du es bezeichnen?
> >
> > [mm]\blue{A:=}\vmat{ \lambda +1 & -2 & -2\\
-2 & \lambda + 1 & 2 \\
2 & -2 & \lambda -3 }[/mm]
>
> >
> > = [mm](\lambda+1) \* (\lambda+1) \* (\lambda[/mm] -3) -8-8 +4
> > [mm]\lambda[/mm] + 4 +4 [mm]\lambda[/mm] +4 -4 [mm]\lambda[/mm] + 12
> >
> > [mm]=\lambda^3[/mm] - [mm]\lambda^2[/mm] - [mm]\lambda[/mm] +1 (=0)
> > = [mm](\lambda -1)\* (\lambda+1)\* (\lambda-1)[/mm] (=0)
> >
> > dann ist also das char. polynom gegeben durch [mm](\lambda-1)^2 \* (\lambda[/mm]
> > +1)
> Ja [mm]\chi_A=(\lambda-1)^2(\lambda+1)[/mm]
> >
> > woraus sich ein Eigenwert [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = 1 ergibt mit
> > algebraischer Vielfachheit 2 und ein einfacher Eigenwert
> > mit [mm]\lambda_3[/mm] = -1 ,mit algebraischer Vielfachheit 1.
> >
> > Durch Lösung diverser linearer Gleichungssysteme erhalte
> > ich nun
> > für [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = 1 die Eigenvektoren [mm]\vektor{1 \\
1 \\
0 }[/mm]
> > und [mm]\vektor{1 \\
0 \\
1}[/mm]
> > für [mm]\lambda_3[/mm] = -1 den EV
> :
> > [mm]\vektor{1 \\
-1 \\
1 }[/mm]
> Ist richtig.
> > also entsprechen jeweils die Geometrische und
> algebraische
> > Vielfachheit.
> Hier im konkreten Fall stimmt das.
> >
> > an dieser Stelle möchte ich 2 Fragen loswerden:
> >
> > 1. Die Länge des Blocks ist so gemeint, ob es eine 1x1 (
> > Länge 1 ) etc... nxn ( Länge n) Matrix ist oder? diese
> > ist ja gleich der alg. Vielfachheit.
> > "Die Anzahl der Kästchen" entspricht der dim. der
> > Eigenräume. hmm. Anzahl welcher Kästchen? Das verwirrt
> > mich ein bisschen.
>
> Ein Jordankästchen zum Eigentwert [mm]\lambda[/mm] der Größe
> (Länge) k ist
> [mm]J_k(\lambda)= \pmat{ \lambda & 1 & & & 0 \\
& \lambda & 1 & & \\
&& \ddots{} & \ddots{}\\
&&& \lambda & 1 \\
0 & & & & \lambda } \in K^{k\times k}[/mm]
>
> Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension vom
> Eigenraum zu Eigenwert [mm]\lambda[/mm]. Das ist die Anzahl der
> Jordankästchen.
>
> Die algebraische Vielfachheit ist die Anzahl der Zeilen,
> auf denen später der Eigenwert in der Diagonalen steht.
>
> Bsp:
> [mm]\lambda_1[/mm] mit algebr. Vielf. 3 und geom. Vielf. 1
> [mm]\lambda_2[/mm] mit algebr. Vielf. 2 und geom. Vielf. 2
> [mm]\lambda_3[/mm] mit algebr. Vielf. 4 und geom. Vielf. 3
> [mm]\left(\begin{array}{ccc|c|c|c|c|cc}\lambda_1 & 1 & & & & & & & \\
& \lambda_1 & 1 & & & & & & \\
& & \lambda_1 & & & & & & \\
\hline& & & \lambda_2 & & & & & \\
\hline& & & & \lambda_2 & & & & \\
\hline& & & & & \lambda_3 & & & \\
\hline& & & & & & \lambda_3 & &\\
\hline& & & & & & & \lambda_3 & 1\\
& & & & & & & & \lambda_3\end{array}\right)[/mm]
>
mal vielleicht ne blöde Frage: Die Jordanschen Sachen braucht man Nie bei diagonalisierbaren Matrizen oder?...
> >
> > 2. Minimalpolynom, wohl eine wichtige Frage:
> >
> > Das Minimalpolynom, ist, sofern ich es verstanden habe, das
> > kleinste Polynom, dass das char. Polynom ohne Rest teilen
> > kann, oder?
> Nein! Das Minimalpolynom [mm]\mu[/mm] teilt zwar stets das
> charakteristische Polynom [mm]\mu\mid \chi[/mm]. Es ist aber nicht
> das kleinste Polynom. Das Kleinste Polynom, dass ALLE
> anderen Polynome teilt ist schließlich 1. Für das
> Minimalpolynom muss noch gelten, dass die Matrix A eine
> Nullstelle von [mm]\mu[/mm] ist, d.h. [mm]\mu(A)=0[/mm]
> > wenn ich z.b. mein Polynom
ah okay!
> > [mm](\lambda-1)^2 \* (\lambda[/mm] +1)
> >
> > habe, muss man im Regelfall fürs kleinste Polynom nicht
> > einfach die Exponenten senken, also z.b. wäre ( meiner
> > Meinung nach) hier das kleinste minimalpolynom
> >
> >
> > [mm](\lambda-1) \* (\lambda[/mm] +1)
> >
> > und allgemein mein ich es so:
> > char. Polynom : [mm](\lambda[/mm] + b )^44 [mm]\* (\lambda[/mm] - [mm]a)^3[/mm]
> > => m. Polynom: [mm](\lambda[/mm] + b [mm])^1 \* (\lambda[/mm] - [mm]a)^1[/mm]
> >
> > ist dies korrekt?
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> > ---------------------------------
> > Weiter gehts:
> > als nächstes muss ich doch Folgendes berechnen :
> > und zwar die Matrix die ich habe, wenn ich den EW
> > eingesetzt habe und davon die dim der (einer) basis des
> > Kerns :
> >
> > [mm]kern(1\*[/mm] In -A) und kern [mm](-1\*[/mm] In -A)
> >
> > und dies
> > kern(1 [mm]\*[/mm] In [mm]-A)^2[/mm] kern(-1 [mm]\*[/mm] In [mm]-A)^2[/mm]
> > solange Exponenten erhöhen, bis der Kern die dimension
> > der Matrix A hat oder?
> Lies dir noch einmal deinen Link durch. Ich glaube kaum,
> dass dies dadrin steht, da es falsch ist.
ich glaub dann kann ich das alles streichen^^ Brauch ich dies für was andres?
> > Ich weiß allerdings nicht so
> > rechts, was dies für einen Sinn hat:
>
> Dazu muss man den Beweis sich für die JNF anschauen. Da
> stellt man als erstes fest, dass eine Kette von Kernen
> gibt, deren Dimension ansteigt.
>
> >
> >
> > kern(In -A) = dim 2 kern (-In -A)= dim 1
> > (so hab ich ja die Eigenräume bestimmt)
> >
> > kern(In [mm]-A)^2[/mm] =kern [mm]\pmat{4 & -4 & -4 \\
-4 & 4 & 4 \\
4 & -4 & -4}[/mm]
>
> >
> > nach Rechnen: Dimension 2
> >
> > [mm]kern(-In-A)^2[/mm] = Dimension 2 (abgelesen nach
> > Matrizmultiplikation)
> >
> > Übrigens hat meine Ausgangsmatrix 2 lin. unabhängige
> > Zeile/spalten
> >
> > also muss ich nun nicht mehr höherwertige Matrizen bilden
> > wie [mm](1-A)^3,[/mm] da die dim jetzt schon gleich der
> > Ausgangsmatriz ist.
> Was ist bei dir die Dimension der Ausgangsmatrix. Ich habe
> jetzt mir das Kochrezept noch einmal angeschaut. Siehe dort
> Seite 3.
Ausgangsmatrix hat 2 lin. unabhängige Spalten/Zeilenvektoren
> >
> > Soooo , ich denke ich müsste alles beisammen haben, um die
> > Jordanmatrix zu kochen. Wie bastel ich sie nun? ich hab
> > Längen und Anzahl Kästchen, ich hab EW und EV. Und die
> > letzte Überprüfung, die ich nicht ganz versteh wieso man
> > sie macht.
>
> Bei dem aktuellen Beispiel kann man die JNF ablesen:
> [mm]\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1}[/mm], da wg. der lin.
> Unabhängigkeit der Basisvektoren der Eigenräume die
> Matrix diagonalisierbar ist.
> >
> > Wie gehts ans Eingemachte?
> >
> >
Das was noch fehlt, ist die Basis einer Jordannormalform oder? brauch ich dafür das, was ich da oben noch gemacht hatte?
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Hi,
> mal vielleicht ne blöde Frage: Die Jordanschen Sachen braucht man Nie bei diagonalisierbaren Matrizen oder?...
Die JNF verallgemeinert nur das Diagonalisieren.
> ich glaub dann kann ich das alles streichen^^ Brauch ich dies für was andres?
Das wird zum Bestimmen der Basis benötigt, zu der die Matrix die Gestalt einer JNF annimmt.
Weiteres hier:
https://matheraum.de/read?t=715797
(Hoffentlich) Ausführlich an einem Beispiel erklärt findest du dies hier:
https://matheraum.de/read?t=695407
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