Jordan'sche Normalform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:46 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo...mir ist noch einiges von der Jordan
schen Normalform nicht klar....
Sei A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 3 }
[/mm]
Das charakteristische Polynom lautet [mm] (x-2)^{4} [/mm] , das minimale : [mm] (x-2)^{2}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = 2 hat die geometrische Vielfachheit 3.
Dass was jetzt kommt ist mir nicht klar:
A [mm] \approx \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 } [/mm] oder A [mm] \approx \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 } [/mm] oder A [mm] \approx \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 } [/mm]
Ich weiß dass es 3 Kästchen geben muss und die hier eben gezeigt werden...da die geometrische Vielfachheit 3 ist.....Aber wieso dürfen die Kästchen gerade nur einen 1er haben....Wieso sind die Blöcke also vom Format 2x2?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Reaper!
> Hallo...mir ist noch einiges von der Jordan
> schen Normalform nicht klar....
> Sei A = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 3 }[/mm]
>
> Das charakteristische Polynom lautet [mm](x-2)^{4}[/mm] , das
> minimale : [mm](x-2)^{2}[/mm]
> [mm]\lambda[/mm] = 2 hat die geometrische Vielfachheit 3.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , das stimmt alles!
> Dass was jetzt kommt ist mir nicht klar:
> A [mm]\approx \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
> oder A [mm]\approx \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
> oder A [mm]\approx \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
Die mittlere JNF stimmt nicht, sie sollte wohl
[mm]\approx \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
lauten, oder?
> Ich weiß dass es 3 Kästchen geben muss und die hier eben
> gezeigt werden...da die geometrische Vielfachheit 3
> ist....
, hey, du hast es ja wirklich gut verstanden bis hierhin! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Aber wieso dürfen die Kästchen gerade nur einen 1er
> haben....Wieso sind die Blöcke also vom Format 2x2?
Naja, wie soll es denn anders gehen?
Haben wir zwei Blöcke vom Format $2 [mm] \times [/mm] 2$, dann bleibt kein Platz für einen dritten Block. Haben wir keinen Block mindestens vom Format $2 [mm] \times [/mm] 2$, also nur Einerblöcke, so haben wir zu wenig Einträge. Ebenso scheidet die Lösung mit einem $3 [mm] \times [/mm] 3$-Block (oder gar größeren Blöcken) aus, denn dann bliebe nur noch Platz für einen weiteren $1 [mm] \times [/mm] 1$-Block, also insgesamt nur für zwei Blöcke.
Mathematischer:
Die Zahl $4$ lässt sich nur in der Form
$4=1+1+2$ (und beliebigen Permutationen davon)
als Summe dreier natürlicher Zahlen schreiben. Daher brauchen wir auf jeden Fall zwei $1 [mm] \times [/mm] 1$-Blöcke und einen $2 [mm] \times [/mm] 2$-Block.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo....danke für die Antwort.....habs verstanden
mfg,
Hannes
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