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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Di 03.06.2008 | | Autor: | Sofie33 |
| Aufgabe | | Berechne Jordanbasis |
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich habe schon die Eigenräume sowie die Haupträume berechnet. Ich habe 4 Basisvektoren für die Jordanform gefunden nur fehlt mir die 5. da n=5 ist.
[mm] A:=\pmat{-3&-1&4&-3&-1\\1&1&-1&1&0\\-1&0&2&0&0\\4&1&-4&5&1\\-2&0&2&-2&1}
[/mm]
das char.P ist [mm] (1-x)^4(2-x)
[/mm]
dim kern(A-1I)=2 [mm] kern(A-1I)=span(\vektor{1\\0\\1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0\\0\\-1})
[/mm]
dim [mm] kern(A-1I)^2 [/mm] =3
[mm] kern(A-1I)^2= kern(A-1I)\oplus span(\vektor{-1\\0\\0\\1\\0})
[/mm]
dim [mm] kern(A-1I)^3=4
[/mm]
[mm] kern(A-1I)^3=kern(A.1I)^2\oplus span(\vektor{0\\1\\0\\0\\0})
[/mm]
dim kern(A-2I)=1
[mm] kern(A-2I)=span(\vektor{0\\1\\0\\1\\0})
[/mm]
dann wähle ich einen Vektor aus [mm] kern(A-1I)^3\kern(A-1I)^2
[/mm]
das wäre ja dann der Vektor [mm] e_{2 }
[/mm]
Dann sind ja die ersten Vektoren von meiner Jordanbasis:
[mm] (e_{2}, (A-1I)e_{2}, (A-1I)^2 e_{2},......)
[/mm]
Der eine Basisvektor ist ja noch von (A-2I), ich nenne ihn mal [mm] w_{1}
[/mm]
Dann wäre die Jordanbasis:
[mm] (e_{2}, (A-1I)e_{2}, (A-1I)^2 e_{2},...,w_{1})
[/mm]
Wie komme ich auf den letzten noch fehlenden Basisvektor???
Ach ja, für die Jordanform hab ich
[mm] J=\pmat{1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&1&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&2} [/mm]
raus
Ich hoffe es kann mir einer helfen
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> Berechne Jordanbasis
> Ich habe schon die Eigenräume sowie die Haupträume
> berechnet. Ich habe 4 Basisvektoren für die Jordanform
> gefunden nur fehlt mir die 5. da n=5 ist.
>
> [mm]A:=\pmat{-3&-1&4&-3&-1\\1&1&-1&1&0\\-1&0&2&0&0\\4&1&-4&5&1\\-2&0&2&-2&1}[/mm]
>
> das char.P ist [mm](1-x)^4(2-x)[/mm]
> Ach ja, für die Jordanform hab ich
>
>
> [mm]J=\pmat{1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&1&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&2}[/mm]
>
> raus
Hallo,
woher weißt Du, daß das die JNF ist?
>
> dim kern(A-1I)=2
> [mm]kern(A-1I)=span(\vektor{1\\0\\1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0\\0\\-1})[/mm]
>
> dim [mm]kern(A-1I)^2[/mm] =3
> [mm]kern(A-1I)^2= kern(A-1I)\oplus span(\vektor{-1\\0\\0\\1\\0})[/mm]
>
> dim [mm]kern(A-1I)^3=4[/mm]
> [mm]kern(A-1I)^3=kern(A.1I)^2\oplus span(\vektor{0\\1\\0\\0\\0})[/mm]
>
> dim kern(A-2I)=1
> [mm]kern(A-2I)=span(\vektor{0\\1\\0\\1\\0})[/mm]
>
> dann wähle ich einen Vektor aus [mm]kern(A-1I)^3\kern(A-1I)^2[/mm]
>
> das wäre ja dann der Vektor [mm]e_{2 }[/mm]
>
> Dann sind ja die ersten Vektoren von meiner Jordanbasis:
>
> [mm](e_{2}, (A-1I)e_{2}, (A-1I)^2 e_{2},......)[/mm]
>
> Der eine Basisvektor ist ja noch von (A-2I), ich nenne ihn
> mal [mm]w_{1}[/mm]
>
> Dann wäre die Jordanbasis:
> [mm](e_{2}, (A-1I)e_{2}, (A-1I)^2 e_{2},...,w_{1})[/mm]
>
> Wie komme ich auf den letzten noch fehlenden
> Basisvektor???
Such Dir einen von [mm] e_{2}, (A-1I)e_{2}, (A-1I)^2 e_{2} [/mm] unabhängigen aus kern(A-I).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Di 03.06.2008 | | Autor: | Sofie33 |
Also erst mal wie ich zu meiner Jordanform gekommen bin
Ich habe ja den Eigenraum zu 1 und zu 2 berechnet
also
kern(A-I) und kern(A-2I)
=> Es gibt zwei Kästchen zum Ew 1
=> Es gibt ein Kästchen zum Ew 2
Die agebraische Vielfachheit von 1 ist 4 und von 2 ist 1.
Somit gibt es ein Block zum EW 1 mit der länge 4 und einen Block zum Ew 2 mit der länge 1.
Daraus hab ich meine Jordanform.
Zum fehlenden Vektor. Ich habe mir jetzt einen l.u. Vektor aus kern(A-I) genommen. Dann habe ich die aus diesen Vektoren die Matrik T erstellt:
[mm] T=\pmat{0&-1&1&0&0\\1&0&0&1&1\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&1\\0&0&0&-1&0}
[/mm]
[mm] T^{-1}
[/mm]
[mm] J=T^{-1}AT
[/mm]
Wenn ich das ausrechne, bekomme ich raus:
[mm] \pmat{1&0&0&0&-2\\1&1&0&0&4\\0&1&1&0&0\\0&0&0&1&2\\0&0&0&0&2}
[/mm]
so ist zwar schon nahe dran, aber das problem hab ich die ganze zeit. Ich hab keine Ahnung was ich falsch mache.
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> Also erst mal wie ich zu meiner Jordanform gekommen bin
>
> Ich habe ja den Eigenraum zu 1 und zu 2 berechnet
> also
>
> kern(A-I) und kern(A-2I)
>
> => Es gibt zwei Kästchen zum Ew 1
> => Es gibt ein Kästchen zum Ew 2
> Somit gibt es ein Block zum EW 1 mit der länge 4 und einen
> Block zum Ew 2 mit der länge 1.
> Daraus hab ich meine Jordanform.
Hallo,
ja, aber über die Größe der Kästchen im Jordanblock zu 1 weißt Du hieraus noch nichts.
Du könntest zwei Zweierkästchen oder ein Dreier- und ein Einerekästchen haben.
Sicherheit hast Du erst, nachdem Du die Kerne der Potenzen v. (A-E) berechnet hast.
Dann weißt Du, daß das größte der Kästchen zu 1 die Länge 3 hat.
Woraus folgt, daß die von Dir zunächst angegebene JNF verkehrt war
> Zum fehlenden Vektor. Ich habe mir jetzt einen l.u. Vektor
> aus kern(A-I) genommen. Dann habe ich die aus diesen
> Vektoren die Matrik T erstellt:
>
> [mm]T=\pmat{0&-1&1&0&0\\1&0&0&1&1\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&1\\0&0&0&-1&0}[/mm]
>
> [mm]T^{-1}[/mm]
>
> [mm]J=T^{-1}AT[/mm]
>
>
> Wenn ich das ausrechne, bekomme ich raus:
>
> [mm]\pmat{1&0&0&0&-2\\1&1&0&0&4\\0&1&1&0&0\\0&0&0&1&2\\0&0&0&0&2}[/mm]
>
> so ist zwar schon nahe dran, aber das problem hab ich die
> ganze zeit. Ich hab keine Ahnung was ich falsch mache.
Es sieht ja stark danach aus, daß der Eigenvektor zu 2 nicht stimmt, und wenn Du den von Dir errechneten mal mit der Matrix multiplizierst, siehst Du auch, daß es keiner ist...
Falls die JNF für Deine Wünsche verkehrt herum ist, ordne die 3 Vektoren [mm] e_{2}, (A-1I)e_{2}, (A-1I)^2 e_{2} [/mm] genau andersrum an.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Di 03.06.2008 | | Autor: | Sofie33 |
Ich Verzweifle gleich!!!
Also ok hab mir noch mal (A-2I) angeschaut. Kann es sein das der Vektor linear abhängig von denen in (A-I) ist? aber dann fehlt ja wieder einer:((( Ich hab keine ahnung mehr was falsch ist.
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> Ich Verzweifle gleich!!!
Bitte nicht! Es ist nur eine JNF... Wenn Du unbedingt verzweifeln möchtest, warte, bis etwas wirklich Schlimmes in Deinem Leben passiert.
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> Also ok hab mir noch mal (A-2I) angeschaut. Kann es sein
> das der Vektor linear abhängig von denen in (A-I) ist?
Nein. Wenn Du diesen Gedanken andenkst, sollte ein band anspringen in Deinem Kopf, welches Dir sagt: "Eigenwerte zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig." Das hat man gelernt, und es gar nicht so schwer, das zu zeigen.
> aber
> dann fehlt ja wieder einer:((( Ich hab keine ahnung mehr
> was falsch ist.
Du machst irgendeinen dummen Fehler beim Rechnen.
Bei mir sehr beliebt: Vorzeichenfehler jeglicher Art.
Hast Du auf der Diagonalen die 2 erstens überall und zweitens subtrahiert? Auch da, wo die 2 auf der Diagonalen steht?
(Ich bekomme als Eigenvektor zu 2 : [mm] \vektor{0 \\ -1\\-2\\-3\\2}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 Di 03.06.2008 | | Autor: | Sofie33 |
Danke für die hilfe . Bin erst mal spazieren gegangen und habe es dann doch endlich geschafft , und durch den anderen Vektor vom Ew 2.
Big thx und danke für die Geduld
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