Jordanmatrix Ableitung beweis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:37 Sa 21.04.2007 | | Autor: | grashalm |
| Aufgabe | Sei K ein Körper der Charakeristik 0, f(x) [mm] \in [/mm] K[x] ein Polynom mit Koeffizienten in K und sei [mm] A=\pmat{ a & 1 & 0 & ... & ... & 0 \\ 0 & a & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & a & 1 \\ ... & ... & ... & ... & 0 & a } [/mm] die nxn Jordanmatrik zum Eigenwert a [mm] \in [/mm] K. Zeigen sie, dass
f(A)= [mm] \pmat{ f(a) & f_{1}(a) & f_{2}(a) & ... & ... & f_{n-1}(a) \\ 0 & f(a) & ... & ... & ... & f_{n-2}(a) \\ ... & ... & ... & ... & ... & f_{2}(a) \\ ... & ... & ... & ... & f(a) & f_{1}(a) \\ ... & ... & ... & ... & 0 & f(a)} [/mm]
wobei [mm] f_{k}(a)=\bruch{1}{k!}f^{k}(a) [/mm] und [mm] f^{k} [/mm] die k-te Ableitung im Sinne der Analysis bezeichnet. |
Hallo,
Mh ich bin etwas überfordert damit. Find da nicht so richtig nen Ansatz wie ich das bei derartigen Polynomen zeigen kann. Wäre lieb wenn mir eine/r helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Sa 21.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
beschränke Dich doch zunächst auf [mm] $2\times [/mm] 2$ Matrizen und Polynome der Form [mm] f(X)=X^p, p=0,1,2,\ldots, [/mm] und berechne die Potenzen
[mm] f(A)=X^p(A)=A^p=\pmat{ a & 1 \\ 0 & a }^p=\ldots
[/mm]
Dann mach mit [mm] $3\times [/mm] 3$ Matrizen weiter. Die allgemeine Aussage folgt dann durch Induktion über p und der Tatsache, dass jedes Polynom eine lineare Kombination der Monome [mm] X^p [/mm] ist.
Volker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Sa 21.04.2007 | | Autor: | grashalm |
Danke erstmal.
Mh wenn ich das durchführe ist ja ganz ersichctlich was für Matrizen da jeweils rauskommen.
[mm] A=\pmat{ a^{p} & p*a^{p-1} & ... & ... & p*a & 1 & 0\\ 0 & a^{p} & p*a^{p-1} & ... & ... & p*a & 1 \\ 0 & 0 & a^{p} & p*a^{p-1} & ... & ... & p*a \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & a^{p}} [/mm] Wobei das alles p x p Länge hat.
Jedoch weiß ich nicht ganz wie das mit [mm] f_{k}(a)=\bruch{1}{k!}f^{k}(a) [/mm] bzw mit ner gebildeten Ableitung zusammenhängt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Sa 21.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
ich glaube, Du hast dich bei der 3*3-Matrix verrechnet. Der Vorfaktor ist nicht immer p sondern (p-1) in der zweiten Nebendiagonalen etc. Rechnen also nochmal mit 3 und 4-dim'l Matrizen. Dann rechne zum vergleich doch noch
[mm] \frac{1}{1!}(X^p)', \frac{1}{2!}(X^p)'',\ldots
[/mm]
aus. Volker
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Du hast recht da stimmt so einiges nicht. So habs nachgeprüft und das Prinzip erstmal richtig verstanden. Gut Induktion liegt ja da sehr nahe. Mache ich die jetzt mit mit k+1 so ganz weiß ich nicht wie ich das korrekt aufpinsel.
k=1: [mm] f_{1}=\bruch{1}{1!}f^{1}*a [/mm]
...
gilt auch für k+1
k+1: [mm] f_{k+1}=\bruch{1}{(k+1)!}f^{k+1}*a [/mm]
mh und das müsst ich jetzt wieder auf die Ausgangsgleichung umformen?
Oder macht man die Induktion hier über matrizen oder so
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 25.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Sa 21.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo.
> Sei K ein Körper der Charakeristik 0, f(x) [mm]\in[/mm] K[x] ein
> Polynom mit Koeffizienten in K und sei [mm]A=\pmat{ a & 1 & 0 & ... & ... & 0 \\ 0 & a & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & a & 1 \\ ... & ... & ... & ... & 0 & a }[/mm]
> die nxn Jordanmatrik zum Eigenwert a [mm]\in[/mm] K. Zeigen sie,
> dass
> f(A)= [mm]\pmat{ f(a) & f_{1}(a) & f_{2}(a) & ... & ... & f_{n-1}(a) \\ 0 & f(a) & ... & ... & ... & f_{n-2}(a) \\ ... & ... & ... & ... & ... & f_{2}(a) \\ ... & ... & ... & ... & f(a) & f_{1}(a) \\ ... & ... & ... & ... & 0 & f(a)}[/mm]
>
> wobei [mm]f_{k}(a)=\bruch{1}{k!}f^{k}(a)[/mm] und [mm]f^{k}[/mm] die k-te
> Ableitung im Sinne der Analysis bezeichnet.
Ein etwas anderer Ansatz: Schreibe $N = D + A$ mit $D = [mm] \pmat{ a & 0 & 0 & ... & ... & 0 \\ 0 & a & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & a & 0 \\ ... & ... & ... & ... & 0 & a } [/mm] = a [mm] \cdot E_n$ [/mm] und $D = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & ... & ... & 0 \\ 0 & 0 & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & 0 & 1 \\ ... & ... & ... & ... & 0 & 0 }$. [/mm] Dann gilt $D A = A D$.
Die Taylor-Entwicklung von $f$ um $a$ ist durch $f(a + x) = [mm] \sum_{k=0}^{\deg f} \frac{f^k(a)}{k!} x^k [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\deg f} f_k(a) x^k$ [/mm] gegeben. Damit ist $f(A) = f(a [mm] E_n [/mm] + D) = [mm] \sum_{k=0}^{\deg f} f_k(a) D^k$. [/mm] Und wenn du dir jetzt ueberlegst, wie die [mm] $D^k$, [/mm] $k = 0, [mm] \dots, \deg [/mm] f$ aussehen, dann hast du sofort das Ergebnis da stehen :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 So 22.04.2007 | | Autor: | grashalm |
Den Ansatz find ich ja mal nicht schlecht danke.
gut also was [mm] D^{k} [/mm] ist mh [mm] D^{2} [/mm] auf der Diagonalen alles [mm] a^{2} [/mm] ...
Mh aber was deg f ist ist mir noch nicht so klar. Kann mir da noch mal jemand helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:37 Mo 23.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Den Ansatz find ich ja mal nicht schlecht danke.
> gut also was [mm]D^{k}[/mm] ist mh [mm]D^{2}[/mm] auf der Diagonalen alles
> [mm]a^{2}[/mm] ...
Genau...
> Mh aber was deg f ist ist mir noch nicht so klar. Kann mir
> da noch mal jemand helfen?
[mm] $\deg [/mm] f$ ist der Grad des Polynoms $f$. Also [mm] $\deg (x^2 [/mm] + 2 x + 1) = 2$ und [mm] $\deg (x^3 [/mm] - 1) = 3$.
LG Felix
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