Jordansche Normalform < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 So 21.06.2015 | | Autor: | superbad |
| Aufgabe | Gegeben ist die Matrix:
$A := [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2b & -1 & b \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b-1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \quad \in [/mm] M(5 [mm] \times [/mm] 5, [mm] \mathbb{R})$
[/mm]
Bestimmen Sie für $A$ die Jordansche Normalform, eine Jordan-Basis und das Minimalpolynom jeweils in Abhängigkeit von $b$ |
Hallo
Das charakteristische Polyon lautet [mm] $\lambda [/mm] - [mm] 1)^5$ [/mm] ist also nicht von $b$ abhängig.
So um nun die Jordansche Form zu bestimmen bin ich wie folgt vorgegangen:
Ich schaue mir den Fall dass $b [mm] \neq [/mm] 1 [mm] \wedge [/mm] b [mm] \neq [/mm] 0$ denn dann kann ich den Kern von $B := A - [mm] 1*E_5$ [/mm] so berrechen:
$ker B = ker [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2b & -1 & b \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/mm] $
Jetzt kann ich die 4. Zeile durch $b-1$ teilen und erhalte $ker [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2b & -1 & b \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/mm] = ker [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2b & -1 & b \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/mm] = ker [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2b & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
[/mm]
Jetzt erste Zeile $ - (2b*$ 2. Zeile$)$ und anschließend erste Zeile durch b teilen und ich erhalte:
$ker [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
[/mm]
Also folgt $dim (ker B) = 2$ damit habe ich also 2 Jordanblöcke und die Basis von $ker B = [mm] (e_1, e_2)$ [/mm] (Damit sind die ersten zwei Einheitsvektoren aus [mm] $\mathbb{R}^5$ [/mm] gemeint).
Jetzt berrechne ich $ker [mm] B^2 [/mm] = ker [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1-b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/mm] = ker [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
[/mm]
daraus folgt dass $dim(ker [mm] B^2) [/mm] = 4$ und Basis von $ker [mm] B^2 [/mm] = [mm] (e_1, e_2, e_4, e_5)$
[/mm]
da [mm] $B^3$die [/mm] Nullmatrix ist, folgt dass der größte Jordanblock $3 [mm] \times [/mm] 3$ ist und da ich nur 2 habe ist der 2. Block ein $2 [mm] \times [/mm] 2$.
Ausserdem ist die Basis von $ker [mm] B^3 [/mm] = [mm] (e_1, e_2, e_3, e_4, e_5)$
[/mm]
Minimalpolynom ist somit [mm] $(\lambda [/mm] - [mm] 1)^3$
[/mm]
Die Jordansche Normalform weiss ich ja wie sie aussieht,
fehlt also nur noch eine Jordan-Basis
und mit dem bisher berrechneten Basen der Haupträume erhalte ich doch z.b. eine Basis in der Form
[mm] $(B^2(e_3), B^2(e_3), e_3, B(e_5), e_5)$
[/mm]
Wenn ich aus der Jordan Basis aber jetzt eine Transformationsmatrix S mache und die Jordansche Normalform berrechnen will, kommt leider keine Jordansche Normalform raus... Was habe ich denn falsch gemacht? Ich bin bei der Aufgabe so vorgegangen wie auch bei "normalen" Matrizen ohne Variablen vorgehe, und bei solchen Matrizen habe ich aber stets eine jordansche Normalform erhalten. Was mache ich falsch ich kann leider mein Fehler nicht finden. Liegt es daran dass ich den Fall $b [mm] \neq [/mm] 1 [mm] \wedge [/mm] b [mm] \neq [/mm] 0$ nicht einfach so betrachten kann?
Bitte hilft mir ich weiss nicht weiter... :(
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=208934
|
|
| |
|
Hallo superbad,
> Gegeben ist die Matrix:
>
> [mm]A := \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2b & -1 & b \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b-1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \quad \in M(5 \times 5, \mathbb{R})[/mm]
>
> Bestimmen Sie für [mm]A[/mm] die Jordansche Normalform, eine
> Jordan-Basis und das Minimalpolynom jeweils in
> Abhängigkeit von [mm]b[/mm]
> Hallo
>
>
> Das charakteristische Polyon lautet [mm]\lambda - 1)^5[/mm] ist also
> nicht von [mm]b[/mm] abhängig.
>
> So um nun die Jordansche Form zu bestimmen bin ich wie
> folgt vorgegangen:
>
> Ich schaue mir den Fall dass [mm]b \neq 1 \wedge b \neq 0[/mm] denn
> dann kann ich den Kern von [mm]B := A - 1*E_5[/mm] so berrechen:
>
> [mm]ker B = ker \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2b & -1 & b \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm]
>
> Jetzt kann ich die 4. Zeile durch [mm]b-1[/mm] teilen und erhalte
> [mm]ker \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2b & -1 & b \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = ker \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2b & -1 & b \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = ker \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2b & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm]
>
> Jetzt erste Zeile [mm]- (2b*[/mm] 2. Zeile[mm])[/mm] und anschließend erste
> Zeile durch b teilen und ich erhalte:
> [mm]ker \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm]
>
> Also folgt [mm]dim (ker B) = 2[/mm] damit habe ich also 2
> Jordanblöcke und die Basis von [mm]ker B = (e_1, e_2)[/mm] (Damit
> sind die ersten zwei Einheitsvektoren aus [mm]\mathbb{R}^5[/mm]
> gemeint).
>
> Jetzt berrechne ich [mm]ker B^2 = ker \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1-b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = ker \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm]
>
> daraus folgt dass [mm]dim(ker B^2) = 4[/mm] und Basis von [mm]ker B^2 = (e_1, e_2, e_4, e_5)[/mm]
>
> da [mm]B^3[/mm]die Nullmatrix ist, folgt dass der größte
> Jordanblock [mm]3 \times 3[/mm] ist und da ich nur 2 habe ist der 2.
> Block ein [mm]2 \times 2[/mm].
> Ausserdem ist die Basis von [mm]ker B^3 = (e_1, e_2, e_3, e_4, e_5)[/mm]
>
> Minimalpolynom ist somit [mm](\lambda - 1)^3[/mm]
> Die Jordansche
> Normalform weiss ich ja wie sie aussieht,
> fehlt also nur noch eine Jordan-Basis
> und mit dem bisher berrechneten Basen der Haupträume
> erhalte ich doch z.b. eine Basis in der Form
>
> [mm](B^2(e_3), B^2(e_3), e_3, B(e_5), e_5)[/mm]
>
Hier meinst Du wohl:
[mm](B^2(e_3), \blue{B(e_3)}, e_3, B(e_5), e_5)[/mm]
Dann erhält man auch eine Jordansche Normalform.
> Wenn ich aus der Jordan Basis aber jetzt eine
> Transformationsmatrix S mache und die Jordansche Normalform
> berrechnen will, kommt leider keine Jordansche Normalform
> raus... Was habe ich denn falsch gemacht? Ich bin bei der
> Aufgabe so vorgegangen wie auch bei "normalen" Matrizen
> ohne Variablen vorgehe, und bei solchen Matrizen habe ich
> aber stets eine jordansche Normalform erhalten. Was mache
> ich falsch ich kann leider mein Fehler nicht finden. Liegt
> es daran dass ich den Fall [mm]b \neq 1 \wedge b \neq 0[/mm] nicht
> einfach so betrachten kann?
>
> Bitte hilft mir ich weiss nicht weiter... :(
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=208934
Gruss
MathePower
|
|
|
|
