Jordansche Normalform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Di 31.08.2004 | | Autor: | stowoda |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo!
Ich würde gerne wissen wie man auf die genannte Form kommt..
angenommen ich habe folgende Matrix: [mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
sollte doch das charakteristische Polynom berechnet werden..
[mm] c_p(\lambda)=det(M-\lambda*E)
[/mm]
[mm] \rightarrow -\lambda^3+3\lambda^2 -4\lambda+0
[/mm]
nachdem ich die Nullstellen des Polynoms ausgerechnet habe also die Eigenwerte
[mm] \lambda_1=-1 [/mm] , [mm] \lambda_2=0 [/mm] und [mm] \lambda_3=-4 [/mm] nun kenne, weiss ich nicht wie ich weiter vorgehen soll.
ich hoffe es findet sich jemand der mir den rest erläutern kann.
Gruß
stowoda
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Di 31.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi
kannst du diagonalisieren?
wenn ja dann mache das einfach, denn bei diagonalisierbaren matrizen ist die jordan normalform einfach die diagonalmatrix!
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:50 Di 31.08.2004 | | Autor: | stowoda |
nein, leider nein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Mi 01.09.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo stowoda!
Gesucht ist also eine Jordan-Matrix $J$ und eine invertierbare Matrix $C$ mit
[mm] $CAC^{-1} [/mm] =J$,
wobei $A$ deine ursprüngliche Matrix ist. Da wir hier drei verschiedene Eigenwerte haben, ist unsere Jordan-Matrix einfach eine Diagonalmatrix, wobei auf der Diagonalen die Eigenwerte von $A$ stehen.
Wie kommst du nun auf $C$?
Berechne die Eigenvektoren!
Löse also für $i=1,2,3$ die Gleichungssysteme
[mm] $(A-\lambda_i E_3)x_i [/mm] =0$.
Die Lösungen dieser drei Gleichungssysteme (also die Eigenvektoren - beachte, dass diese nur bis auf Vielfachheit eindeutig bestimmt sind) schreibst du als Spaltenvektoren in die Matrix $C$.
Eine ausführliche und schöne Erläuterung findest du hier im Matheplaneten:
http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=589
Kommst du damit jetzt zurecht? Versuche es doch bitte jetzt mal selbst und melde dich mit deinem Rechenweg und deiner Lösung.
Wir kontrollieren es dir dann gerne und korrigieren es gegebenenfalls. Aber es wäre schön, wenn du jetzt mal ein paar eigene Versuche starten würdest. 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Fr 10.09.2004 | | Autor: | stowoda |
Gruess Dich Julius!
wenn ich nu ne matrix habe, von der ich die jordanform haben möchte, mache ish also folgendes ??
[mm] (M-\lambda*E)
[/mm]
also
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix}
1-\lambda & 0 & 0 \\
0 & 1-\lambda & 0 \\
0 & 0 & 1-\lambda
\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
1-\lambda & 1 & 1 \\
0 & 1-\lambda & 1 \\
0 & 1 & 1-\lambda
\end{pmatrix}
[/mm]
nun gehts weiter mit dem charakteristischen Polynom: [mm] C_p(\lambda)=det(M-\lambda*E)
[/mm]
[mm] C_p(\lambda)= -\lambda^3 +\lambda^2 -2\lambda
[/mm]
...mit den Nullstellen := [mm] \lambda_1=1 [/mm] ; [mm] \lambda_2=2 [/mm] ; [mm] \lambda_3=0
[/mm]
nun soll ich diese als Spaltenvektoren in eine Matrix schreiben ??
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
ist das alles? ist dies meine Jordansche-Normalform der Matrix??
was bedeutet: (also die Eigenvektoren - beachte, dass diese nur bis auf Vielfachheit eindeutig bestimmt sind)
danke und schönen Gruß
stowoda
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Fr 10.09.2004 | | Autor: | dieter |
Hallo stowoda!
> Gruess Dich Julius!
>
> wenn ich nu ne matrix habe, von der ich die jordanform
> haben möchte, mache ish also folgendes ??
>
> [mm](M-\lambda*E)
[/mm]
>
> also
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}[/mm] - [mm]\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\
0 & 0 & 1-\lambda
\end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}
1-\lambda & 1 & 1 \\
0 & 1-\lambda & 1 \\
0 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}[/mm]
Nicht ganz, aber ich denke du meinst:
[mm]\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
\lambda & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 0 \\
0 & 0 & \lambda
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1-\lambda & 1 & 1 \\
0 & 1-\lambda & 1 \\
0 & 1 & 1-\lambda
\end{pmatrix} [/mm]
was richtig ist.
>
>
> nun gehts weiter mit dem charakteristischen Polynom:
> [mm]C_p(\lambda)=det(M-\lambda*E)
[/mm]
>
> [mm]C_p(\lambda)= -\lambda^3 +\lambda^2 -2\lambda
[/mm]
>
> ...mit den Nullstellen := [mm]\lambda_1=1[/mm] ; [mm]\lambda_2=2[/mm] ;
> [mm]\lambda_3=0
[/mm]
>
Das ist auch noch richtig
> nun soll ich diese als Spaltenvektoren in eine Matrix
> schreiben ??
Jein (s.u.)
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> ist das alles? ist dies meine Jordansche-Normalform der
> Matrix??
>
Ja, das ist die Jordansche-Normalform diener Matrix. Du bekommst sie, indem du die Eigenwerte auf die Diagonale schreibst (was du ja auch gemacht hast.
Das mit den Spaltenvektoren war anders gemeint: Du berechnest die zu deinen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren und schreibst diese als Spaltenvektoren in eine Matrix P und dann gilt:
[mm] $A=PDP^{-1}$
[/mm]
wobei A die ursprüngliche Matrix ist und D die Diagonalmatrix.
> was bedeutet: (also die Eigenvektoren - beachte, dass diese
> nur bis auf Vielfachheit eindeutig bestimmt sind)
>
>
> danke und schönen Gruß
>
> stowoda
>
gruß
dieter
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