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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Do 19.04.2007 | | Autor: | Hollo |
| Aufgabe | Sei K Körper, a [mm] \not= [/mm] b [mm] \in [/mm] K. Bestimme jeweils alle A [mm] \in [/mm] M(2x2,K), die die folgende JNF haben:
[mm] J_{1}=\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }
[/mm]
[mm] J_{2}=\pmat{ a & 0 \\ 0 & b }
[/mm]
[mm] J_{3}=\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] |
Hi. häng an dieser Aufgabe.. Soweit bin ich bis jetzt gekommen viell. kann ja jemand weiter helfen.
Also
zu [mm] J_{1}:
[/mm]
det [mm] \pmat{ w-\lambda & x \\ y & z-\lambda } [/mm] = [mm] (w-\lambda)(z-\lambda)-xy
[/mm]
det [mm] \pmat{ a-\lambda & 0 \\ 0 & a-\lambda } [/mm] = [mm] (a-\lambda)(a-\lambda)
[/mm]
Das obere ist das char. pol. von einer beliebigen 2x2 Matrix und das untere das char.pol. von [mm] J_{1}.
[/mm]
Diese müssen gleich sein. Daraus folgt a=w=z und x=0 oder y=0.
Also sind die gesuchten Matrizen von der Form [mm] \pmat{ a & x \\ y & a }.
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht ob x, y oder beides gleich Null ist und wie ich es zeige.
zu [mm] J_{2},J_{3}
[/mm]
fällt mir nichts ein...
Gruß Hollo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Do 19.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
die Konjugationsklasse von [mm] J_1 [/mm] besteht nur aus dieser einen Matrix. Die Konjugationsklasse von [mm] J_2 [/mm] besteht aus allen Matrizen A mit Spur a+b ist und Determinante ab. Die Konjugationsklasse von [mm] J_3 [/mm] ist am interessantesten: Sie besteht aus allen Matrizen mit verschwindender Spur und Determinante, die nicht(!) die Nullmatrix sind, denn diese ist ja von der Form [mm] J_1.
[/mm]
Volker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Do 19.04.2007 | | Autor: | Hollo |
Okay vielen Dank schon mal! Ich versuch das jetzt zu beweisen und meld mich nachher nochmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Do 19.04.2007 | | Autor: | Hollo |
So:
[mm] J_{1}:
[/mm]
Anzahl der Blöcke=geometrische Vielfachheit=Dimension des Eigenraums zum Eigenwert a = dim ker(A-aI)=2
=> dim Im(A-aI)=0
=> A-aI=0 <=> [mm] A=aI=J_{1}
[/mm]
(I=Einheitsmatrix)
Ist das so okay und wie zeigt man [mm] J_{2} [/mm] und [mm] J_{3}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Do 19.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
Deine Lösung für [mm] J_1 [/mm] ist mir zu kompliziert. Zwei Matrizen A und B haben genau dann dieselbe JNF, falls sie zueinander konjugiert sind, d.h. falls eine Matrix [mm] g\in \operatorname{Gl}_2(K) [/mm] existiert mit [mm] gAg^{-1}=B. [/mm] Aber für [mm] $A=J_1$ [/mm] ist klar, dass [mm] gAg^{-1}=A [/mm] für alle [mm] g\in \operatorname{Gl}_2(K) [/mm] gilt.
Für [mm] J_2 [/mm] folgt die eine Richtung wegen [mm] \operatorname{Spur}(gAg^{-1})=\operatorname{Spur}(A) [/mm] und [mm] \operatorname{Det}(gAg^{-1})=\operatorname{Det}(A) [/mm] und die andere wegen [mm] a\neq [/mm] b.
[mm] J_3 [/mm] erfordert kaum andere Argumente.
Volker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Do 19.04.2007 | | Autor: | Hollo |
Und wie funktioniert es ohne den Begriff:konjungiert? Den haben wir nämlich bis jetzt nicht eingeführt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Do 19.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
Konjugation=Basiswechsel.
Volker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Do 19.04.2007 | | Autor: | Hollo |
zueinander konjungiert ist das gleiche wie zu einander ähnlich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Do 19.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> zueinander konjungiert ist das gleiche wie zu einander
> ähnlich?
In diesem Kontext ja.
LG Felix
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