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Hallo, mir ist hier bei einer Lösung einer Aufgabe was aufgetaucht, wo ich nicht weiß, warum die das so machen.
Also man soll die JNF von [mm] B=\pmat{ 14 & -5 & 3 \\ 2 & 7 & 3 \\ 2 & 1 & 9 } [/mm] bestimmen.
Man bestimme zuerst das Char. Polynom. das ist in diesem Fall:
[mm] P(x)=(x-12)^2*(x-6)
[/mm]
damit haben wir die Eigenwerte [mm] x_1=12 [/mm] und [mm] x_2=6. [/mm] Jetzt heißt es, die geo. Vielfachheit zu bestimmen, d.h. die Eigenräume:
[mm] Eig(B,6)=Kern(B-6*E)=<(1,1,-1)^T> \Rightarrow [/mm] dim 1
Jetzt kommt der Knackpunkt, den ich nicht versteh. Es ist:
[mm] Eig(B,12)=Kern(B-12*E)=<(1,1,1,)^T> \Rightarrow [/mm] dim 1
so ich würde an dieser Stelle aufhören, weil die Summe der geo. Viel [mm] \not= [/mm] alge. Viel. ist.
aber die machen jetzt einfach:
[mm] Eig(B,12)=Kern(B-12*E)=<(1,1,1,)^T> [/mm] und [mm] Eig(B,12)=Kern(B-12*E)^2=<(1,1,1)^T,(0,1,1)^T> \Rightarrow [/mm] dim 2 und somit existiert eine JNF.
Aber wieso kann man diesen Schritt hier machen: [mm] Eig(B,12)=Kern(B-12*E)^2 [/mm] ???? das sehe ich zum ersten mal. wie gesagt, ich würde schon vorher abbrechen und nicht auf die JNF kommen. Des Weiteren ist es sehr komisch. Nach der letzen Rechnung hat ja Eig(B,12) dim 2, also müsste es ja eigentich für den EW 12 auch 2 Jordankästchen geben, aber nein. Deren JNF sieht wie folgt aus:
[mm] \pmat{ 12 & 1 & 0 \\ 0 & 12 & 0 \\ 0 & 0 & 6 } [/mm]
Jemand ne Erklärung dafür?
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 So 06.04.2008 | | Autor: | Zorba |
Diese dim 2 des Eigenraumes² ist die LÄNGE DES JORDANKÄSTCHENS zum Eigenwert
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Mal kurz ne frage. ich glaube, ich habe gerade was verwechselt.
muss bei der JNF die Summe der geo. Vielf. der Eigenwerte gleich n sein, also in unserem Bsp. 3, da wir ja im [mm] \IR^3??
[/mm]
weil ich glaube, bei der JNF muss das ja gar nicht gelten, das gilt doch nur für diagonalisierbare Matrizen. oder?
gruß
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> muss bei der JNF die Summe der geo. Vielf. der Eigenwerte
> gleich n sein, also in unserem Bsp. 3, da wir ja im
> [mm]\IR^3??[/mm]
>
> weil ich glaube, bei der JNF muss das ja gar nicht gelten,
> das gilt doch nur für diagonalisierbare Matrizen. oder?
Genau.
Für die JNF brauchst Du nur ein zerfallendes charakteristisches Polynom, dh. die Summe der algebraischen Vielfachheiten muß n sein.
Gruß v. Angela
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