Jordansche Normalform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:02 Mi 26.01.2005 | | Autor: | lilita |
Hallo zusammen,
kann mir jemand bitte helfen. ich soll Jordansche Normalform berechnen
[mm] \pmat {3&4&3\\-1&0&-1\\1&2&3}
[/mm]
vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Mi 26.01.2005 | | Autor: | lilita |
das char.Polynom ist [mm] -x^3 +6x^2-12x+8,
[/mm]
die Eigenwerte sind 2,2,2 , man kan faktorisieren [mm] (x-2)^3
[/mm]
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Gruß!
Na, dann ist doch alles klar... die Matrix ist nicht diagonalisierbar, da sie sonst ähnlich zu einer Skalarmatrix und damit gleich dieser Skalarmatrix wäre - was offenbar nicht der Fall ist.
Also geht es darum, ob eine 1 oder zwei 1en auf der Nebendiagonalen stehen. Das wiederum kann man leicht ablesen:
Bilde $B:= A - 2 [mm] \cdot E_3$, [/mm] wo [mm] $E_3$ [/mm] die $3 [mm] \times [/mm] 3$-Einheitsmatrix ist. Diese Matrix hat Determinante 0, da 2 Nullstelle des char. Polynoms von A ist, also ist [mm] $\dim [/mm] kern(B) > 0$. Da [mm] $\dim [/mm] kern(B) = 3$ ausscheidet (dann wäre A diagonalisierbar, was nicht der Fall ist - s.o.), bleiben nur zwei Fälle:
i) [mm] $\dim [/mm] kern(B) = 1$ Dann stehen zwei 1en auf der Nebendiagonalen.
ii) [mm] $\dim [/mm] kern(B) = 2$ Dann steht nur eine 1 dort.
Alles klar?
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mi 26.01.2005 | | Autor: | lilita |
vielen Dank Lars,
ich habe B:= A-E3 ausgerechnet und habe den Eigenvektor v=(1,-1,1) bekommen.Ich weiß aber nicht, was ich weiter machen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Di 01.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Wenn du einen eindimensionalen Eigenraum errechnet hast, dann tritt Fall 1 in Lars Notation ein.
Ich verstehe jetzt dein Problem nicht, Lars hat das Vorgehen doch genau beschrieben. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Viele Grüße
Julius
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![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]"){kind=small}
