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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 So 26.09.2010 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix A [mm] \pmat{ 3 & 4 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3 } [/mm] mit dem charakteristischen Polynom [mm] \mathcal{P}_{A}= -(t-2)^3
[/mm]
1) Berechne die Jordansche Normalform [mm]A'[/mm] von [mm]A[/mm].
2) Berechne die Matrix [mm]S[/mm] mit [mm]A'=S^{-1}AS[/mm] |
1) Das hab ich nun schon gemacht:
[mm] {\emptyset} [/mm] / Ker(A-2E) / [mm] Ker(A-2E)^2 [/mm] / [mm] Ker(A-2E)^3 [/mm] / [mm] Ker(A-2E)^4
[/mm]
dim: 0 1 2 3 3
Diff.: 1 1 1 0
Diff.: 0 0 1
Daher weiß ich, dass ein 3x3 Jordankästchen existiert.
A'= [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 }
[/mm]
2) hier weiß ich leider nicht weiter. Kann mir jemand eine Anleitung zur Bestimmung dieser Matrix S geben?
Vielen Dank schon mal!
m0ppel
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Hallo,
Deine Tabelle kann ich schlecht verstehen, aber die JNF sieht mir richtig aus.
Zur Jordanbasis: google mal nach "Kochen mit Jordan". Da ist alles schon erklärt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Mo 27.09.2010 | | Autor: | m0ppel |
Also ich hab das jetzt mal versucht:
Als erstes habe ich die Basen der Kerne bestimmt
[mm]Ker(A-2I) [/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] (A-2I)= [mm] \pmat{ 1 & 4 & 3 \\ -1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 1} [/mm] Basis des Kerns: [mm] \{ \vektor{1 \\ -1 \\ 1} \}
[/mm]
[mm] Ker(A-2I)^2 \Rightarrow (A-2I)^2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & 2 & 2} [/mm] Basis des Kerns: [mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ -1} \}
[/mm]
Da ich ein [mm] 3\times3 [/mm] Kästchen habe, nehme ich ein Basisvektor des [mm] \IR^3 [/mm] der nicht im [mm] Ker(A-2I)^2 [/mm] liegt.
[mm] j_{1}= \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Dann ergibt sich folgende Basis: [mm] \{j_{1}, (A-2I)*j_{1}, (A-2I)^2*j_{1}\} [/mm] = [mm] \{ \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{2 \\ -1 \\ 1}, \vektor{1 \\ -1 \\ 1} \}
[/mm]
welche auch linear unabhängig sind.
Da ich nur 3 Basisvektoren benötige, bin ich doch jetzt schon fertig.
Daraus ergibt sich mein [mm] S=\pmat{ 0 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1}
[/mm]
Laut wolfram lautet [mm] S^{-1}= \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 2}
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] S^{-1}AS [/mm] rechne kommt bei mir nicht A' heraus. Was mache ich denn da falsch?
Vielen Dank
m0ppel
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Hallo m0ppel,
> Also ich hab das jetzt mal versucht:
> Als erstes habe ich die Basen der Kerne bestimmt
> [mm]Ker(A-2I)[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] (A-2I)= [mm]\pmat{ 1 & 4 & 3 \\ -1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 1}[/mm]
> Basis des Kerns: [mm]\{ \vektor{1 \\ -1 \\ 1} \}[/mm]
> [mm]Ker(A-2I)^2 \Rightarrow (A-2I)^2[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & 2 & 2}[/mm] Basis des
> Kerns: [mm]\{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ -1} \}[/mm]
>
> Da ich ein [mm]3\times3[/mm] Kästchen habe, nehme ich ein
> Basisvektor des [mm]\IR^3[/mm] der nicht im [mm]Ker(A-2I)^2[/mm] liegt.
> [mm]j_{1}= \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> Dann ergibt sich folgende
> Basis: [mm]\{j_{1}, (A-2I)*j_{1}, (A-2I)^2*j_{1}\}[/mm] = [mm]\{ \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{2 \\ -1 \\ 1}, \vektor{1 \\ -1 \\ 1} \}[/mm]
>
> welche auch linear unabhängig sind.
>
> Da ich nur 3 Basisvektoren benötige, bin ich doch jetzt
> schon fertig.
> Daraus ergibt sich mein [mm]S=\pmat{ 0 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1}[/mm]
Die Matrix S muss so aussehen:
[mm]S=\pmat{ 0 & 4 & 2 \\ 1 & -2 & -2 \\ 0 & 2 & 2}[/mm]
Oder wenn Du auf den Vektor [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] bestehst:
[mm]S=\pmat{ -1 & 1 & 1\\ \bruch{1}{2} & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Laut wolfram lautet [mm]S^{-1}= \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 2}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt [mm]S^{-1}AS[/mm] rechne kommt bei mir nicht A'
> heraus. Was mache ich denn da falsch?
>
> Vielen Dank
> m0ppel
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:15 Di 28.09.2010 | | Autor: | m0ppel |
Danke, hab ich voll vergessen, dass ich die nicht als normale Basisvektoren angeben kann, sondern so wie sie errechnet wurden. 
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