Jordansche Normalform < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 So 12.02.2012 | | Autor: | hubbel |
Hallo Leute,
schreibe nächste Woche meine Klausur in linearer Algebra und dieses Thema bereitet mir noch Kopfschmerzen. Hatte schonmal eine Frage dazu, dachte eigentlich, dass sich das in der Uni noch klären würde, hat es sich aber leider nicht. Ich bräuchte jemanden, der sich kurz Zeit nehmen könnte, mir eine kleine "Anleitung" mit Erklärung schreiben könnte, wie ich eine Jordannormalform aus einer Matrix baue, am besten noch mit kleinem Beispiel, eine 3x3-Matrix zum Beispiel.
Wäre cool, wenn sich da jemand erbarmen könnte.
Danke schonmal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 So 12.02.2012 | | Autor: | hubbel |
Nehmen wir mal Matrix A:
[mm] A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] charPoly=(1-\lambda)^3
[/mm]
Somit wäre der Eigenwert 1 und seine algebraische Vielfachheit wäre 3, richtig?
Der Eigenraum wäre:
[mm] E_1=span(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix})
[/mm]
Die Dimension vom Kern ist ja leicht zu sehen, die Matrix kann man nicht so umformen, dass wir eine Nullzeile bzw. Spalte haben, somit ist die dimKer=3 und [mm] dimE_1=1
[/mm]
Aber das müsste ja gleich sein, was es nicht ist. Ich glaube aber, dass ich zwei komplexe Lösungen nicht berechnet habe, womit die Dimension der einzelnen Eigenräume jeweils 1 ist und somit auch 3.
Stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 So 12.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Nehmen wir mal Matrix A:
>
> [mm]A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]charPoly=(1-\lambda)^3[/mm]
>
> Somit wäre der Eigenwert 1 und seine algebraische
> Vielfachheit wäre 3, richtig?
Ja.
> Der Eigenraum wäre:
>
> [mm]E_1=span(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix})[/mm]
Nein. Er ist zweidimensional. (Einen zweiten Eigenvektor kann man hier direkt ablesen.)
> Die Dimension vom Kern ist ja leicht zu sehen, die Matrix
> kann man nicht so umformen, dass wir eine Nullzeile bzw.
> Spalte haben, somit ist die dimKer=3 und [mm]dimE_1=1[/mm]
Kern wovon? Von der Matrix $A$ selber? Der ist aber nulldimensional! Oder meinst du von $A - 1 [mm] \cdot E_3$? [/mm] Der ist zweidimensional.
> Aber das müsste ja gleich sein, was es nicht ist. Ich
> glaube aber, dass ich zwei komplexe Lösungen nicht
> berechnet habe,
Komplexe Loesungen wovon? Beim charakteristischen Polynom gibt es keine echt komplexen Nullstellen.
> womit die Dimension der einzelnen
> Eigenräume jeweils 1 ist und somit auch 3.
Was genau willst du hier sagen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 So 12.02.2012 | | Autor: | hubbel |
Wie kann ich den zweiten denn ablesen?
[mm] A-E_3 [/mm] hat doch nur noch in der dritten Zeile etwas stehen, warum ist der Kern davon dann 2 und nicht 1?
Das was ich danach geschrieben ist blödsinn, sorry.
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Hallo hubbel,
> Wie kann ich den zweiten denn ablesen?
>
> [mm]A-E_3[/mm] hat doch nur noch in der dritten Zeile etwas stehen,
> warum ist der Kern davon dann 2 und nicht 1?
>
Durch diese 3. Zeile ist eine Variable bestimmt.
Die anderen beiden Variablen sind frei wählbar.
Daher hat der Kern die Dimension 2.
> Das was ich danach geschrieben ist blödsinn, sorry.
Gruss
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:04 So 12.02.2012 | | Autor: | hubbel |
Das verstehe ich nicht, ich hab ja dann eine Matrix, dessen 1. und 2. Zeile eine Nullzeile ist, wir haben gelernt, dass dann der Rang der Matrix gleich eines ist, sprich die Dimension, jetzt bin ich völlig verwirrt.
Mal abgesehen davon, wie stelle ich die Jordannormalform mit den Informationen überhaupt auf?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 14.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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moin,
Da ich gerade für das gleiche Thema lerne eine kurze Frage:
Ist $A$ nicht bereits eine JNF und somit ist man hier schon fertig?
Und dann nochmal Verständnisfrage:
Die algebraische Vielfachheit einer Nullstelle des char. Polynoms gibt die Größe des Jordanblocks zu dieser Nullstelle, die geometrische Vielfachheit die Anzahl der einzelnen Blöcke zu der Nullstelle?
Was wäre nun aber (als Beispiel), wenn das charakteristische Polynom [mm] $(x-1)^4$ [/mm] wäre und der Eigenraum zur $1$ Dimension zwei hätte?
Dann gibt es zwei Blöcke zum Eigenwert 1, diese könnten aber (2,2) oder auch (3,1) groß sein.
Bleibt einem in diesem Fall nichts anderes übrig als zusätzlich noch das Minimalpolynom zu berechnen, dass ja die Größe des größten Blockes angibt?
Und schließlich haben wir in der Vorlesung die Jordan-Form irgendwie über die Smith-Form der charakteristischen Matrix bestimmt.
Lohnt sich dieses Vorgehen oder ist das Betrachten der Eigenwerte/Eigenräume effizienter?
thx für Infos.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 14.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Siehe ![[]](/images/popup.gif){kind=small}
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