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| Aufgabe | K Körper, E endl. KE v. K mit zykl. GaloisGruppe G, die von [mm] \alpha [/mm] mit [mm] ord\alpha [/mm] = n erzeugt wird. Sei [mm] \gamma \in K^x [/mm] und [mm] A=(E,\alpha,\gamma) [/mm] K-Algebra endl. dim.
A wird von E und einer Var t mit te = [mm] \alpha(e)t [/mm] und [mm] t^n [/mm] = [mm] \gamma [/mm] erzeugt.
Zeige A ist zentral einfach mit [mm] dim_K [/mm] A = n² |
Erst einmal nur A zentral, sonst wirds zuviel...und ich glaub ich hab viele lücken auf diesem Gebiet.
Sei x [mm] \in [/mm] C(A). Dann lässt sich x schreiben als linearkombination von den Basiselementen von A, welche {1,...,t^(n-1)} sind, und Skalaren [mm] e_i [/mm] aus E.
x = [mm] \summe_{i=0}^{n-1} e_i*t^i
[/mm]
Für a [mm] \in [/mm] A gilt dann xa = [mm] \summe_{i=0}^{n-1} e_i*t^i*a [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n-1} e_i*\alpha^i(a)*t^i [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n-1} e_i*a*t^i [/mm]
Warum gilt das erste und zweite Gleichheitszeichen und woher kommt das [mm] \alpha^i?
[/mm]
=> [mm] e_i*\alpha^i(a) [/mm] = [mm] e_i*a [/mm]
Für [mm] e_i [/mm] != 0 ist [mm] \alpha^i(a) [/mm] = a für alle [mm] a\in [/mm] A. Mit der Galoistheorie folt dann [mm] \alpha^i [/mm] = id, somit i=0.
Wo kann man das der Galoistheorie genau entnehmen?
=> [mm] e_i [/mm] = 0 [mm] \forall i\ge [/mm] 1
Die folgerung verstehe ich auch nicht, vielleicht liegt es auch an dem zusammenhang davor mit der Galoistheorie.
Also ist [mm] x=e_0 \in [/mm] E => [mm] C(A)\subseteq [/mm] E
Weiter gilt: xt = tx => [mm] t*\alpha(e_0) [/mm] = [mm] e_0*t [/mm] = [mm] t*e_0
[/mm]
=> [mm] \alpha(e_0) [/mm] = [mm] e_0 [/mm] => [mm] e_0\in [/mm] K.
Also [mm] C(A)\subseteq [/mm] K, denn Fixkörper d. Galoisgruppe ist K. <- Wie kann man sich die Begründung klarmachen?
Also C(A)=K. Ist die andere Inklusion denn klar?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 So 28.08.2011 | | Autor: | hippias |
> K Körper, E endl. KE v. K mit zykl. GaloisGruppe G, die
> von [mm]\alpha[/mm] mit [mm]ord\alpha[/mm] = n erzeugt wird. Sei [mm]\gamma \in K^x[/mm]
> und [mm]A=(E,\alpha,\gamma)[/mm] K-Algebra endl. dim.
> A wird von E und einer Var t mit te = [mm]\alpha(e)t[/mm] und [mm]t^n[/mm] =
> [mm]\gamma[/mm] erzeugt.
>
> Zeige A ist zentral einfach mit [mm]dim_K[/mm] A = n²
> Erst einmal nur A zentral, sonst wirds zuviel...und ich
> glaub ich hab viele lücken auf diesem Gebiet.
>
> Sei x [mm]\in[/mm] C(A). Dann lässt sich x schreiben als
> linearkombination von den Basiselementen von A, welche
> {1,...,t^(n-1)} sind, und Skalaren [mm]e_i[/mm] aus E.
> x = [mm]\summe_{i=0}^{n-1} e_i*t^i[/mm]
>
> Für a [mm]\in[/mm] A gilt
Muss hier vielleicht [mm] $a\in [/mm] E$ stehen? [mm] $\alpha$ [/mm] ist doch auf $E$ definiert.
>dann xa = [mm]\summe_{i=0}^{n-1} e_i*t^i*a[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{n-1} e_i*\alpha^i(a)*t^i[/mm] = >[mm]\summe_{i=0}^{n-1} e_i*a*t^i[/mm]
> Warum gilt das erste und zweite Gleichheitszeichen und
> woher kommt das [mm]\alpha^i?[/mm]
xa = [mm]\summe_{i=0}^{n-1} e_i*t^i*a[/mm] gilt nach Definition von x (s.o.)
> [mm]\summe_{i=0}^{n-1} e_i*t^i*a[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{n-1} e_i*\alpha^i(a)*t^i[/mm]
folgt aus [mm] $te=\alpha(e)t$, [/mm] denn [mm] $t^{2}e= t\alpha(e)t= \alpha^{2}(e)t$ [/mm] usw.
>[mm]\summe_{i=0}^{n-1} e_i*\alpha^i(a)*t^i[/mm] = >[mm]\summe_{i=0}^{n-1} e_i*a*t^i[/mm]
gilt wegen xa=ax [mm] ($x\in [/mm] C(A)$), wobei $ax= [mm]\summe_{i=0}^{n-1} e_i*a*t^i[/mm]$.
> => [mm]e_i*\alpha^i(a)[/mm] = [mm]e_i*a[/mm]
>
> Für [mm]e_i[/mm] != 0 ist [mm]\alpha^i(a)[/mm] = a für alle [mm]a\in[/mm] A. Mit der
> Galoistheorie folt dann [mm]\alpha^i[/mm] = id, somit i=0.
> Wo kann man das der Galoistheorie genau entnehmen?
Dies ist der bijektive Zusammenhang zwischen den Untergruppen der Galoisgruppe und den Zwischenkoerper der Koerpererweiterung.
> => [mm]e_i[/mm] = 0 [mm]\forall i\ge[/mm] 1
> Die folgerung verstehe ich auch nicht, vielleicht liegt es
> auch an dem zusammenhang davor mit der Galoistheorie.
>
> Also ist [mm]x=e_0 \in[/mm] E => [mm]C(A)\subseteq[/mm] E
>
> Weiter gilt: xt = tx => [mm]t*\alpha(e_0)[/mm] = [mm]e_0*t[/mm] = [mm]t*e_0[/mm]
> => [mm]\alpha(e_0)[/mm] = [mm]e_0[/mm] => [mm]e_0\in[/mm] K.
> Also [mm]C(A)\subseteq[/mm] K, denn Fixkörper d. Galoisgruppe ist
> K. <- Wie kann man sich die Begründung klarmachen?
So ist's bewiesen worden in Lehrbuechern etc.
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> Also C(A)=K. Ist die andere Inklusion denn klar?!
>
Ob Dir dies klar ist, kannst auch nur Du sagen 
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Stimmt a sollte aus E sein.
Der bijektive Zusammenhang der Untrgr. d. Galoisgr. und den Zwischenkörper d. KE ist mir bekannt, aber ich sehe nicht wie es an dieser Stelle wirkt:
Für [mm] e_i [/mm] != 0 ist [mm] \alpha^i(a) [/mm] = a [mm] \forall a\in [/mm] E => [mm] \alpha^i [/mm] = id (also i=0) => [mm] e_i [/mm] = 0 [mm] \forall i\ge [/mm] 1
Erste Implikation ist klar, aber genau an der stelle steht die Begründung mit der Galoistheorie...was mir noch nicht einleuchtet.
Die zweite Implikation meint, dass [mm] \forall i\ge [/mm] 1, die gleichung erhalten bleiben soll, indem [mm] 0*\alpa^i(a) [/mm] = 0*a zustande kommt, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Mo 29.08.2011 | | Autor: | hippias |
> Für [mm]e_i[/mm] != 0 ist [mm]\alpha^i(a)[/mm] = a [mm]\forall a\in[/mm] E =>
> [mm]\alpha^i[/mm] = id (also i=0) => [mm]e_i[/mm] = 0 [mm]\forall i\ge[/mm] 1
> Erste Implikation ist klar, aber genau an der stelle steht
> die Begründung mit der Galoistheorie...was mir noch nicht
> einleuchtet.
Es wurde gezeigt, dass [mm] $\alpha^{i}(a)= [/mm] a$ fuer alle [mm] $a\in [/mm] E$ gilt. Damit ist [mm] $Fix(\alpha^{i})= [/mm] E$. Es ist aber auch $Fix(1)= E$. Der HS der Galois-Theorie besagt nun [mm] $<\alpha^{i}>= [/mm] 1$ ...
> Die zweite Implikation meint, dass [mm]\forall i\ge[/mm] 1, die
> gleichung erhalten bleiben soll, indem [mm]0*\alpa^i(a)[/mm] = 0*a
> zustande kommt, oder?
Ich verstehe den Satz nicht so recht, aber ich schaetze, was Du meinst, ist richtig. Es wurde gezeigt: Wenn [mm] $e_{i}\neq [/mm] 0$, dann ist [mm] $\alpha^{i}= [/mm] 1$ und damit $i=0$, wegen $i<n= [mm] ord(\alpha)$.
[/mm]
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Aaaah okay, jetzt habe ich das verstanden. danke
Ich kannte [mm] \phi: Zw(E/K)\to [/mm] Ugr(E/K) mit [mm] Z\mapsto [/mm] G(E/Z),
Die Umkehrung war mir nicht geläufig mit [mm] H\mapsto E^H [/mm] zum Fixkörper.
Okay, da nun der Teil in meinem Kopf eingebrannt ist, muss noch gezeigt werden, dass A als K-Algebra einfach ist. Dafür habe ich keine gescheite Lösung, außer dass man ein Ideal [mm] 0\not= I\subseteq [/mm] A nimmt und zeigt, dass [mm] 1\in [/mm] I => A einfach.
Weiter weiß ich auch nicht. Kannst du da aushelfen? :)
Für die [mm] dim_K(A) [/mm] = n² wird die einfachheit gebraucht, denn wir haben
[mm] |G|=n=|G(E/K)|=dim_K(E) [/mm] da E/K galoissch.
Da A zentral einfache K-Algebra mit [mm] E\subseteq [/mm] A Unterkörper und [mm] C_A(E)=E
[/mm]
=SATZ=> [mm] dim_k(A)=dim_K(E)^2=n^2
[/mm]
[mm] C_A(E)=E [/mm] gilt, denn im Teil des Beweises der zentralität haben wir schon:
"Also ist [mm] x=e_0 \in [/mm] E => [mm] C(A)\subseteq [/mm] E " was uns liefert [mm] C_A(E)\subseteq C(A)\subseteq [/mm] E. Anderseits gilt schon [mm] E\subseteq C_A(E), [/mm] da E Unterkörper ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 01.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Kann keiner zeigen, dass die Algebra einfach ist? :(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 Di 06.09.2011 | | Autor: | hippias |
Schau doch einfach mal in der Literatur nach, z.B. Falko Lorenz: Einführung in die Algebra II, Kapitel Verschränkte Produkte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Mi 07.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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