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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - K-Homomorphismen / Galoisgr.
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K-Homomorphismen / Galoisgr.: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:06 Sa 03.04.2010
Autor: Crispy

Aufgabe
Es sei [mm]L[/mm] der Zerfällungskörper von
a) [mm]f=X^4+6X^2+5[/mm] über [mm]\IQ[/mm]
b) [mm]g=X^4-2X^3+2X-4[/mm] über [mm]\IQ[/mm]

Frage:
1) Wie viele Körperhomomorphismen [mm]L \to \IC[/mm] gibt es?
2) Bestimme die Galoisgruppe von [mm]L / \IQ[/mm].

Hallo,
zunächst habe ich mittels Koeffizientenvergleich die Nullstellen der Polynome bestimmt.

für a) sind das [mm]\pm \sqrt{5}*i[/mm] und [mm]\pm i[/mm]
für b) konnte ich nur 2 als Nullstelle erraten - wie geht es hier weiter?

a) Der Zerfällungskörper von f über [mm]\IQ[/mm] müsste dann [mm]\IQ \left(i,\sqrt{5}*i\right)[/mm] sein.
Stimmt es, dass L über [mm]\IQ[/mm] denn Grad 4 hat?

Ich denke es gibt 4 Körperhomomorphismen:
1. die Identität also [mm]x \to x[/mm]
2. [mm]x \to -x[/mm]
3. [mm]\sqrt{5} \to i[/mm]
4. [mm]i \to \sqrt{5}[/mm]

Diese 4 K-Homomorphismen müssten auch die Galoisgruppe sein?

Ist zunächst bis hierher alles in Ordnung?

Besten Dank, liebe Grüße und FROHE OSTERN,
Chris

        
Bezug
K-Homomorphismen / Galoisgr.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Sa 03.04.2010
Autor: SEcki


>  zunächst habe ich mittels Koeffizientenvergleich die
> Nullstellen der Polynome bestimmt

Koeffizientenvergleich?!

> für a) sind das [mm]\pm \sqrt{5}*i[/mm] und [mm]\pm i[/mm]

Jo, sieht gut aus. Anderes Vorgehen: erstmal [m]Y=X^2[/m] substituieren, dann zweimal Lösungsformel.

>  für b) konnte
> ich nur 2 als Nullstelle erraten - wie geht es hier
> weiter?

Dann hast du ein Polynom dritten Grades nach Polynomdivision. Dann schaust du dir das an - falls es keine weiteren Nst. in den gazne Zahlen gibt, schaust du dir an, ob das Polynom nur relle hat oder nicht (zB mit einer Kurvendiskussion)

> a) Der Zerfällungskörper von f über [mm]\IQ[/mm] müsste dann [mm]\IQ \left(i,\sqrt{5}*i\right)[/mm]
> sein.

Ja.

>  Stimmt es, dass L über [mm]\IQ[/mm] denn Grad 4 hat?

Ja, da du zweimal quadratisch ergänzt und [m]\sqrt{5}\notin \IQ(i)[/m] gilt.

> Ich denke es gibt 4 Körperhomomorphismen:

Die Körper.hom gehen auf einen Unterkörper, der isomorph zum Zerfällungskörper ist. Oder sind das Körper.hom von dem Körper in sich?

>  1. die Identität also [mm]x \to x[/mm]
>  2. [mm]x \to -x[/mm]

Ja, nun ... ich würde mir ansehen, wo welche Nullstellen des Polynoms abgebildet werden, dass bestimmt den Körperhim. vollständig.

>  3. [mm]\sqrt{5} \to i[/mm]
> 4. [mm]i \to \sqrt{5}[/mm]

Was sollen die letzten beiden sein? Falls es eine Angabe auf der Basis sein soll - du wirst die so nicht tauschen können, da es Nullstellen von unterschiedlichen Polynomen sind!

> Diese 4 K-Homomorphismen müssten auch die Galoisgruppe
> sein?
>  
> Ist zunächst bis hierher alles in Ordnung?

Nein, leider nicht.

SEcki

Bezug
                
Bezug
K-Homomorphismen / Galoisgr.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:50 So 04.04.2010
Autor: Crispy

Hallo,

zunächst vielen Dank für die Hilfe.

Dies müssten dann die 4 richtigen Homomorphismen von
[mm]L \to L[/mm] und damit auch von [mm]L \to \IC[/mm]  sein:

[mm] \sigma_1 [/mm] : [mm] \begin{cases}\sqrt{5} \to \sqrt{5} \\ i \to i \end{cases} [/mm]
[mm] \sigma_2 [/mm] : [mm] \begin{cases}\sqrt{5} \to -\sqrt{5} \\ i \to i \end{cases} [/mm]
[mm] \sigma_3 [/mm] : [mm] \begin{cases}\sqrt{5} \to \sqrt{5} \\ i \to -i \end{cases} [/mm]
[mm] \sigma_4 [/mm] : [mm] \begin{cases}\sqrt{5} \to -\sqrt{5} \\ i \to -i \end{cases} [/mm]

Diese 4 müssten dann auch die Galoisgruppe [mm]L/\IQ[/mm]
also [mm]Gal(L/\IQ) \cong \IZ_2 \times \IZ_2[/mm]

Frage: Wie beweise ich, dass es neben den 4 genannten keine weiteren Homomorphismen [mm]L \to \IC[/mm] gibt?

Besten Dank & frohe Ostern,
Chris

Bezug
                        
Bezug
K-Homomorphismen / Galoisgr.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 So 04.04.2010
Autor: SEcki


> Frage: Wie beweise ich, dass es neben den 4 genannten keine
> weiteren Homomorphismen [mm]L \to \IC[/mm] gibt?

In dem du zB zeigst, dass die Gruppe 4 Elemente hat, da du zweimal quadratisch erweiterst.

SEcki

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