K-Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Di 10.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | Es sei V ein K-Vektorraum und U [mm] \subset [/mm] V ein linearer Unterraum.
Für welche a [mm] \in [/mm] V ist a + U := {a + u: u [mm] \in [/mm] U} wiederum ein linearer Unterraum von V? |
Da U ein Unterraum, gilt, dass er abgeschlossen ist.
D.h. x,y [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] x + y [mm] \in [/mm] U
Wenn nun gelten soll, dass a + u in einem Unterraum ist, müssen a und u beide in diesem Unterraum sein.
Also muss entweder (1) a in U liegen oder aber (2) es gibt einen größeren Unterraum A [mm] \subset [/mm] V für den gilt, U [mm] \subset [/mm] A, a [mm] \in [/mm] A.
Bei (2) bin ich mir nicht ganz sicher, ich wüsste nicht, wie ich diese Argumentation weiterführen könnte.
(1) stimmt, denke ich mal, aber ist da meine Argumentation ausreichend?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Di 10.11.2009 | | Autor: | fred97 |
1. Sei a+U ein Unterraum, dann: 0 [mm] \in [/mm] a+U, also gibt es ein b [mm] \in [/mm] U mit 0=a+b. Dann ist aber a=-b [mm] \in [/mm] U
2. Sei a [mm] \in [/mm] U. jetzt überlege Dir, dass dann a+U = U ist.
Fazit.: a+U ist ein Unterraum [mm] \gdw [/mm] a [mm] \in [/mm] U.
In diesem Fall ist a+U = u.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Di 10.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
Deinen ersten Punkt verstehe ich zwar, weiß aber ehrlich gesagt nicht, was du damit aussagen möchtest.
Sei a,u [mm] \in [/mm] U
wegen dem von mir genannten Unterraumaxioms (Abgeschlossenheit) ist dann auch a + u [mm] \in [/mm] U
[mm] \Rightarrow [/mm] a+U [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] a+U = U
LG Tommy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:55 Mi 11.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Deinen ersten Punkt verstehe ich zwar, weiß aber ehrlich
> gesagt nicht, was du damit aussagen möchtest.
Das ist die Implikation " a+U ist ein Unterraum [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] U"
Der 2. Punkt war: " a+U ist ein Unterraum [mm] \Leftarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] U"
FRED
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> Sei a,u [mm]\in[/mm] U
>
> wegen dem von mir genannten Unterraumaxioms
> (Abgeschlossenheit) ist dann auch a + u [mm]\in[/mm] U
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> [mm]\Rightarrow[/mm] a+U [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] a+U = U
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> LG Tommy
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