K-Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:47 Mo 07.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Zeige, dass [mm] $V=\{ P \in K \left[t\right]_{3}; P(0)=0 \}$ [/mm] ein K-Vektorraum ist
i) berechne [mm] $dim_{K}V$.
[/mm]
ii) Sei W= {P [mm] \in [/mm] V; P(1) = 0 } in 4. Berechne [mm] $dim_{K}W$ [/mm] |
Hallo,
Um zu zeigen, dass ein K-Vektorraum vorliegt, muss ich zeigen dass die Voraussetzungen für einen Vektorraum erfüllt sind. Was bedeutet denn das [mm] $\left[ t \right] [/mm] _{3}$ ?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Mo 07.03.2011 | | Autor: | barsch |
Hi,
kann es vielleicht sein, dass
> Zeige, dass [mm]V=\{ P \in K \left[t\right]_{3}; P(0)=0 \}[/mm] ein
> K-Vektorraum ist
> Was bedeutet denn das [mm]\left[ t \right] _{3}[/mm]?
ihr das in der VL benutzt habt als Bezeichnung für Polynome vom Grad [mm] \le{3}.
[/mm]
[mm] P(t)=a_3*t^3+a_2*t^2+a_1*t+a_0 [/mm] (Polynom vom Grad 3)
Diese Darstellung ähnelt zumindest einer Darstellung wie sie mir in Erinnerung ist.
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Di 08.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
< Diese Darstellung ähnelt zumindest einer Darstellung wie sie mir in Erinnerung < ist.
Ok, Danke!
1. Überprüfung auf den K-Vektorraum:
aus P(0) folgt [mm] $a_{0}=0$ [/mm]
neutrales Element:
[mm] $1(t^{3}a_{3}+t^{2}a_{2}+ta_{1}) [/mm] = [mm] t^{3}a_{3}+t^{2}a_{2}+ta_{1}$ [/mm]
also erfüllt.
Dann skalare Multiplikation:
[mm] $P_{1}(t) [/mm] , [mm] P_{2}(t) \in [/mm] V ; a,b [mm] \in [/mm] K$:
[mm] 1.$a(P_{1}(t)+P_{2}(t))=aP_{1}(t)+aP_{2}(t)$
[/mm]
[mm] 2.$a(P_{1}(t)+P_{2}(t))=(aP_{1}(t))P_{2}(t)=(aP_{2}(t))P_{1}(t)$
[/mm]
3. [mm] $(a+b)P_{t}=aP_{t}+bP_{t}$
[/mm]
a) Die Dimension wäre 3 und eine Basis [mm] $(x),(x^{2}),(x^{3})$
[/mm]
b) Die Dimension entspricht dem Grad des Polynoms?
Gruss
kushkush
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Hi,
>
> 1. Überprüfung auf den K-Vektorraum:
>
> aus [mm] P(0)\blue{=0} [/mm] folgt [mm]a_{0}=0[/mm]
>
> neutrales Element:
> [mm]1(t^{3}a_{3}+t^{2}a_{2}+ta_{1}) = t^{3}a_{3}+t^{2}a_{2}+ta_{1}[/mm]
>
> also erfüllt.
Das neutrale Element ist ein Vektor (hier ein Polynom) und kein Skalar. Es ist das gleiche, wie im Raum der Polynome vom Grad [mm] \leq3.
[/mm]
>
> Dann skalare Multiplikation:
Die ist auch die gleiche wie beim Raum der Polynome. Du musst Abgeschlossenheit bzgl Skalarmultiplikation und Vektoraddition zeigen!
>
> [mm]P_{1}(t) , P_{2}(t) \in V ; a,b \in K[/mm]:
>
> 1.[mm]a(P_{1}(t)+P_{2}(t))=aP_{1}(t)+aP_{2}(t)[/mm]
>
> 2.[mm]a(P_{1}(t)+P_{2}(t))=(aP_{1}(t))P_{2}(t)=(aP_{2}(t))P_{1}(t)[/mm]
Das stimmt überhaupt nicht.
> 3. [mm](a+b)P_{t}=aP_{t}+bP_{t}[/mm]
Du musst zeigen [mm] p(t)=aP_1(t)\in [/mm] V und [mm] p(t)=P_1(t)+P_2(t)\in [/mm] V. Dazu musst du überprüfen, ob stets p(0)=0 ist.
>
> a) Die Dimension wäre 3 und eine Basis
> [mm](x),(x^{2}),(x^{3})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) Die Dimension entspricht dem Grad des Polynoms?
Nein. Die Dimension ist maximal die Dimension von V, denn W ist ein Untervektorraum von V. Aber nicht alle Polynom aus V liegen auch in W. Zum Beispiel das Polynom p(x)=x liegt nicht in W, denn [mm] p(1)=1\neq0.
[/mm]
Damit ist die Dimension maximal 2. Finde zwei linear unabhängige Polynome in W, um zu zeigen [mm] \dim [/mm] W=2
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Di 08.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
< Das neutrale Element ist ein Vektor (hier ein Polynom) und kein Skalar.
Dann ist es (1,1,1) ?
< Dazu musst du überprüfen, ob stets p(0)=0 ist.
$
1. [mm] p(t)=P_{1}(t)=a_{3}t^{3}+a_{2}t^{2}+a_{1}t \Rightarrow [/mm] p(0)=0
2. [mm] $p(t)=P_{1}(t)+P_{2}(t)=(a_{1}+b_{1})t+(a_{2}+b_{2})t^{2}+(a_{3}+b_{3})^{3} \Rightarrow [/mm] p(0)=0 $
so?
ii)< Damit ist die Dimension maximal 2. Finde zwei linear unabhängige < < < < Polynome in W, um zu zeigen W=2
$(x) und [mm] (2x^{2}+1)$
[/mm]
< LG
Danke!!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Di 08.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das neutrale Element ist ein Vektor aus deinem Vektorraum in dem Sinn, wie alle polynome vom [mm] grad\le [/mm] 3 vektoren sind. du musst also den Nulvektor in deinem VR nennen.
P+?=P
was ist denn das "neutrale" Element in [mm] \IR^2 [/mm] ?
[mm] p(t)=2t^2+1 [/mm] ist doch nicht in deinem VR da gilt doch p(0)=0 ?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Di 08.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
< was ist denn das "neutrale" Element in ?
$(0,0)$ odeR?
<ist doch nicht in deinem VR da gilt doch p(0)
[mm] $p_{1}= [/mm] x$ und [mm] $p_{2}=2x^{2}$ [/mm] die sind nicht linear abhängig und es gilt $p(0)=0 $ ?
Danke.
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Di 08.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.welches Polynom ist jetzt dein 0 Vektor?
2. du suchst doch ne Basis des UVR W? da liegen doch weder x noch [mm] x^2 [/mm] noch [mm] 2x^2 [/mm] drin?
nenn mal wenigsten einen vektor=Polynom, der in W[mm]\subset[/mm]V liegt, dann such nen zweiten!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Di 08.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
< welches Polynom ist jetzt dein 0 Vektor?
p(x)= 0 also (0,0,0)
< Basis
Eine Basis besteht aus den beiden Polynomen: [mm] $(x^{3}-4x^{2}+3x), (x^{3}-6x^{2}+5x)$ [/mm] ?
< Gruss
Danke
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> Hallo,
>
> < welches Polynom ist jetzt dein 0 Vektor?
>
> p(x)= 0 also (0,0,0)
>
>
> < Basis
>
> Eine Basis besteht aus den beiden Polynomen:
> [mm](x^{3}-4x^{2}+3x), (x^{3}-6x^{2}+5x)[/mm] ?
Ja, es geht aber auch einfacher
[mm] p_1(x)=x(x-1)=x^2-x
[/mm]
[mm] p_2(x)=x^2(x-1)=x^3-x^2
[/mm]
>
>
> < Gruss
>
> Danke
>
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 Di 08.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
Danke!
Gruss
kushkush
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kleine Ergänzung (Tipp zu den Polynomen aus W):
Es sind 0 und 1 Nullstellen des Polynoms. Damit lassen sich die Linearfaktoren x und (x-1) bei allen Polynomen aus W abspalten.
Gruß
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