KF und PF vergleichen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:41 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Myrk88 |
| Aufgabe | Gegeben sind die Ebenen E1 (durch eine Koordinatengleichung) und E2 (durch eine Parameterdarstellung). Die Paramterdarstellung für E2 enthält Gleichungen für x1, x2, x3, die man in die Koordinatengleichung von E1 einsetzen kann. Was bedeutet das geometrisch?
Wie erkennt man, ob die beiden Ebenen parallel zueinander sind, sich in einer Geraden schneiden oder identisch sind?
E1: x1+x2+x3=5
E2: x = (1 3 1) + [mm] \lambda [/mm] (2 1 0) + [mm] \mu [/mm] (1 -1 1) |
Beim ersten Teil ("Die Paramterdarstellung für E2 enthält Gleichungen für x1, x2, x3, die man in die Koordinatengleichung von E1 einsetzen kann. Was bedeutet das geometrisch?") verstehe ich nicht die Vorraussetzungen. Wie enthält E2 x1, x2, x3? Und was soll mir das dann geometrisch Aussagen?
Der zweite Teil ("Wie erkennt man, ob die beiden Ebenen parallel zueinander sind, sich in einer Geraden schneiden oder identisch sind?") ist soweit klar. Ich würde E2 in die Koordinatenform umformen und dann vergleichen, das wäre kein Problem. Nur ist das Sinn der Aufgabe? Gibt es noch Möglichkeiten die Ebenen in KF und PF zu vergleichen?
Vielen Dank für Antworten!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Fr 26.10.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Abend und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben sind die Ebenen E1 (durch eine
> Koordinatengleichung) und E2 (durch eine
> Parameterdarstellung). Die Paramterdarstellung für E2
> enthält Gleichungen für x1, x2, x3, die man in die
> Koordinatengleichung von E1 einsetzen kann. Was bedeutet
> das geometrisch?
aus geometrischer Sicht setzt du damit alle Punkte der zweiten Ebene in die erste ein, machst also eine Punktprobe. Die resultierende Gleichung in [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] liefert also eine Bedingung dafür, daß ein Punkt in beiden Ebenen liegt.
Mit dieser Gleichung (*) erkennst du dann auch folgendes....
> Wie erkennt man, ob die beiden Ebenen parallel zueinander
> sind, sich in einer Geraden schneiden oder identisch sind?
überlege: Echt parallele Ebenen haben wie viele Punkte gemeinsam? Was muß entsprechend für die Gleichung (*) gelten?
Was ist, wenn die Gleichung (*) 0 = 0 lautet?
Was ist, wenn die Gleichung (*) eine Beziehung zwischen [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] liefert?
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:52 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Myrk88 |
Hallo, erst einmal Danke für diese schnelle Antwort!
Also hab ich das jetzt richtig verstanden, dass ich einfach die "x1-Spalte" von E2 für die x1-Koordinate von E1 einsetzen muss (das selbe dann analog für x2 und x3)?!
also in diesem Fall dann:
[mm] (1+2\lambda+\mu) [/mm] + [mm] (3+\lambda-\mu) [/mm] + [mm] (1+\mu) [/mm] = 5
<=> [mm] 3\lambda [/mm] = [mm] 1-\mu
[/mm]
Das heißt also, dass eine Beziehung zwischen [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] vorliegt und sich die Ebenen schneiden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Sa 27.10.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Morgen,
> Also hab ich das jetzt richtig verstanden, dass ich einfach
> die "x1-Spalte"
die "x1-Zeile"
> von E2 für die x1-Koordinate von E1
> einsetzen muss (das selbe dann analog für x2 und x3)?!
>
> also in diesem Fall dann:
> [mm](1+2\lambda+\mu)[/mm] + [mm](3+\lambda-\mu)[/mm] + [mm](1+\mu)[/mm] = 5
> <=> [mm]3\lambda[/mm] = [mm]1-\mu[/mm]
>
> Das heißt also, dass eine Beziehung zwischen [mm]\lambda[/mm] und
> [mm]\mu[/mm] vorliegt und sich die Ebenen schneiden.
korrekt.
Gruß
Will
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