Kamm - Überlagerung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:17 Mi 20.05.2015 | | Autor: | quizzle123 |
Hallo,
ich möchte Folgendes beweisen:
Sei ,
, wobei .
Sei eine Überlagerung. Dann existiert eine offene Menge , sodass ein Homöomorphismus ist und eine offene Umgebung von ist. Schließen Sie daraus, dass ein existiert mit .
Leider weiß ich überhaupt nicht, wie ich anfangen soll. Ich denke, dass die Kompaktheit von <math> I = [mm] [0,1]<\math> [/mm] eine Rolle spielen könnte und der Punkt (0,1). Es wäre nett, wenn mir jemand wenigstens einen kleinen Tipp geben könnte!
Viele Grüße,
quizzle123
PS: Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: /viewtopic.php?topic=207741&start=0&lps=1520890#v1520890
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Mi 20.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Verrate noch, was Y ist und was [mm] \pi_1 [/mm] sein soll.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Mi 20.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fred!
Ich habe zwar keine Ahnung von Algebraischer Topologie, aber hoffe mit Folgendem trotzdem richtig zu liegen:
> Verrate noch, was Y ist und was [mm]\pi_1[/mm] sein soll.
Die Formulierung
"Sei [mm] $\pi\colon Y\to [/mm] X$ eine Überlagerung."
ist eine Abkürzung für
"Sei $Y$ zusammen mit [mm] $\pi\colon Y\to [/mm] X$ eine Überlagerung von X."
Insbesondere ist $Y$ ein topologischer Raum.
[mm] $\pi_1(Y,y_0)$ [/mm] bezeichnet die Fundamentalgruppe von Y mit dem Basispunkt [mm] $y_0$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Mi 20.05.2015 | | Autor: | quizzle123 |
Ja genau, tobit09 hat Recht! Das hätte ich vielleicht noch dazu schreiben sollen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Fr 22.05.2015 | | Autor: | Ladon |
Du bekommst ja quasi umsonst, dass für ein covering space [mm] $p:Y\to [/mm] X$ eine Umgebung der Kante [mm] $0\times [/mm] I$ existiert, die homöomorph zu $Y$ hochgehoben wird.
Ab hier eine Idee, von der ich (noch) nicht weiß, ob sie zielführend ist: Bedenke, dass wir hier es mit der Produkttopologie zu tun haben und offene Umgebungen von (x,y) offene Kästchen sind. [mm] $\pi(U)$ [/mm] ist eine offene Umgebung von [mm] $0\times [/mm] I$, worin offensichtlich unendlich viele (sogar fast alle) Strecken der Form [mm] $\frac{1}{n}\times [/mm] I$ zu finden sind, d.h. [mm] \exists n_0\in\IN, [/mm] s.d. [mm] $\frac{1}{n}\times I$\subseteq\pi(U)\forall n\ge n_0. [/mm] Für ein festes [mm] n_1\ge n_0, [/mm] dessen Strecke in der offenen Umgebung ist, bildet die Strecke [mm] $\frac{1}{n_1}\times [/mm] I$ zusammen mit [mm] $[0,\frac{1}{n_1}]\times [/mm] 0$, [mm] $[0,\frac{1}{n_1}]\times [/mm] 1$ und [mm] $0\times [/mm] I$ ein "Kästchen ohne inneres" (Einfach mal aufmalen!), das homöomorph zu einem Kreis sein sollte (mindestens aber homotopieäquivalent) und damit einen nicht-triviale Erzeuger der Fundamentalgruppe hat. Da $ [mm] \pi_{|U}: [/mm] U [mm] \rightarrow \pi(U) [/mm] $ ein Homöomorphismus ist, wird das "Kästchen ohne inneres" zu einer homöomorphen Menge in $Y$ geschickt. Homöomorphe Räume haben isomorphe Fundamentalgruppen. Also muss auch in $Y$ ein nicht-trivialer Erzeuger zu finden sein, also [mm] $\pi_1(Y,y_0)\neq [/mm] 0$, wobei das [mm] $y_0=p^{-1}(x_0)$ [/mm] ist mit [mm] $x_0\in 0\times [/mm] I$ (bedenke $p$ ist ein lokaler Homöomorphismus).
Natürlich ist die Idee noch kein vollständiger Beweis. Aber ich denke, es lässt sich zu einem solchen ausbauen.
MfG
Ladon
PS: Sorry, aber die englischen Begriffe sind mir präsenter.
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