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| Aufgabe | In China halten die Menschen „singende“ Grillen in Mini-Käfigen und es gibt auch Grillen, auf die in Wettkämpfen mit grossen Geldeinsätzen gewettet wird.
Eine Grillen-Division befindet sich auf einem Feldzug - diese sei quadratisch angeordnet und besetzt 49m² Bodenfläche. Sie verschiebt sich mit kontinuierlicher Marsch-geschwindigkeit nach rechts dem Feind entgegen (dunkelgrün nach hellgrün).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Eine Polizei-Grille, dessen Aufgabe es ist, Desertation zu verhindern, startet gleichzeitig mittig hinter dem Verband (A) mit erhöhtem Tempo und 'umrundet' die Kampfgrillen-formation. Würde diese stehen bleiben, so wären die Richtungswechsel-Koordinaten bei 1, 2, 3 und 4 - eine Umrundung entspräche exakt dem Umfang des Quadrates. Da sich die Kampfgrillen jedoch stetig nach rechts bewegen, verschiebt sich auch die Wegroute der Polizeigrille nach rechts und die Richtungswechsel finden in etwa bei 1a, 2a, 3a und 4a statt - wobei wiederum (A) der Ausgangspunkt, bei (B) die Mitte der Front passiert wird und (C) der Zielkoordinate einer vollendeten Umrundung entspricht.
Quizfrage
Welche Wegstrecke hat die Aufpasser-Grille zurückgelegt, wenn sich beim Eintreffen an Punkt (C) die gesamte Formation um genau 7 Meter vorwärts bewegt hat? |
*** nic rumgepostet ***
Meine Lösung setz voraus, dass die Polizeigrille in einem Winkel von 30 ° in Bezug auf die Kante 1-4 auf den Punkt 1a steuert.
Meine 3 Fragen:
1. Ist mein Ergebnis richtig?
2. Ist meine Voraussetzung richtig?
3. Wie kann ich meine Voraussetzung plausibel machen/berechnen/beweisen?
Abschätzung:
[mm] 4 \ * 7 \ < S < 6 \ * 7 \ [/mm]
[mm] \ \ 28 \ < S < 42 \ [/mm]
Lösung:
Wenn die Fläche der quadratischen Division 49m² beträgt, dann ist eine Kante 7 m lang.
Die waagrechten Strecken [mm] \ \overline{1_{a} \ 2_{a}} [/mm] und [mm] \ \overline{3_{a} \ 4_{a}} [/mm] sind beide 7 m lang.
Für die Strecke [mm] \ \overline{A \ 1_{a}} [/mm] gilt der Pythagoras:
[mm] \ \overline{A \ 1_{a}} \ = \ \wurzel{ \ ( \bruch{7}{2})^{2} \ + \ ( \bruch{7}{4})^{2}} [/mm]
Diese schräge Strecke kommt betragsmässig insgesamt 4 mal vor:
[mm] \ \overline{A \ 1_{a}} , \ \overline{1_{a} \ B} , \ \overline{B \ 3_{a}} , \ \overline{4_{a} \ C} [/mm]
Die Gesamtstrecke der Polizei-Grille berechnet sich daher zu:
[mm]S \ = \ 2 \ * \ 7 \ + \ 4 * \ \wurzel{ \ ( \bruch{7}{2})^{2} \ + \ ( \bruch{7}{4})^{2}} [/mm]
[mm]S \ = \ 2 \ * \ 7 \ + \ 4 * \ \wurzel{ \ ( \bruch{14^{2}}{16}) \ + \ ( \bruch{7^{2}}{16})} [/mm]
[mm]S \ = \ 2 \ * \ 7 \ + \ \wurzel{ {14^{2}} \ + \ 7^{2}} [/mm]
[mm]S \ = \ 2 \ * \ 7 \ + \ 7 * \ \wurzel{5} [/mm]
[mm]S \ = \ 29.6524... m [/mm]
Herzliche Grüsse aus meinem Zürich
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Die Polizei-Grille muss die Formation einmal umrunden und sich dazu noch um 7 m nach recht bewegen. Daher ist ihr Weg (S):
$S \ = \ 4 \ [mm] \* [/mm] \ 7 m \ + \ 1 \ [mm] \* [/mm] \ 7m \ = \ 5 [mm] \* [/mm] \ 7m \ = \ [mm] \underline{35 m} [/mm] $
Meine erste Lösung war also falsch. Aber liege ich jetzt richtig?
Gruss aus Zürich
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:19 Di 15.04.2008 | | Autor: | MacMath |
So einfach kann es dann doch nicht sein.
überleg dir mal die Form der Figur, die entstünde wenn die Polizei-Grille farbe an den füßen hätte
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Hallo MacMath
Danke für Deinen Input.
Hast Du an so etwas gedacht:
http://gc.motoclub-fim.ch/grille/cricket_anim.html
Wenn ich die Grafik ausmesse, erhalte ich:
$S \ = \ 28.2 m $
also nur unwesentlich mehr, als wenn die Polizeigrille die stehende Formation umrundet hätte:
$S > \ 4 \ * \ 7m \ = \ 28 m$
Aber ich weiss immer noch nicht, wie die Strecke genau zu berechnen ist, den mit der Teilrechnung von statler komm ich auch nicht weiter.
Gruss Beni
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:22 Fr 18.04.2008 | | Autor: | statler |
Hi,
das ist jetzt soweit erledigt, s. u.
Dieter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 Di 15.04.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
Wenn wir mal Bezeichnungen vergeben, dann sei V die Geschwindigkeit der Kampfgrillen, T die Gesamtzeit des Vorgangs und damit V*T = 7. Weiter seien t die Zeit, die die Polizeigrille für eine Querstrecke braucht, t' entsprechend für das Überholen und t'' für den Rückweg. Dann ist T = 2*t + t' + t''. Außerdem sei v die Geschwindigkeit der Polizeigrille.
t kann ich mit dem Pythaoras ausrechnen, es ist t = [mm] \wurzel{\bruch{49}{(v+V)(v-V)}}. [/mm] Weiter ist t' = [mm] \bruch{7}{v-V} [/mm] und t'' = [mm] \bruch{7}{v+V}. [/mm] Das ergibt t = [mm] \wurzel{t't''}. [/mm] Damit ist T = [mm] (\wurzel{t'} [/mm] + [mm] \wurzel{t''})^{2}.
[/mm]
Diese Gleichung kann ich nach v und V umbauen und erhalte als Bestimmungsgleichung für v
[mm] v^{4} [/mm] - [mm] 4v^{3}V [/mm] - [mm] 2v^{2}V^{2} [/mm] + [mm] 4vV^{3} [/mm] + [mm] 5V^{4} [/mm] = 0
Das Ding ist homogen, was auf eine gewisse Richtigkeit hindeutet, weil nur das Verhältnis v/V relevant ist.
Jetzt müßte mir mal jemand helfen und eine Lösung für V = 1 suchen. Meine Anschauung sagt mir, daß zwischen 4 und 5 eine Lösung liegen sollte. Ach ja, da nach der Strecke gefragt ist, bleibt dann immer noch etwas offen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo Dieter (statler)
Danke für Deine Berechnungen.
Ich hatte auch schon versucht, wie die Physiker mit der Geschwindigkeit zu arbeiten, habe allerding meinen Ansatz nicht gepostet, da es immer komplizierter wurde.
Leider hilft mir Deine Berechnung, die ich, soweit Du gekommen bist, auch nachvollziehen kann, nicht weiter, weil ich Deinen Schlussterm
[mm] $v^{4} [/mm] - [mm] 4v^{3}V [/mm] - [mm] 2v^{2}V^{2} [/mm] + [mm] 4vV^{3} [/mm] + [mm] 5V^{4} [/mm] = 0$
auch nicht vereinfachen bzw. auflösen kann.
Immerhin habe ich eine Animation gefunden, bei der wir den Grillen zuschauen können:
![[]](/images/popup.gif) Grillenanimation
Herzliche Grüsse aus Zürich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:44 Mi 16.04.2008 | | Autor: | statler |
Hi,
vielleicht erbarmt sich ja jemand, der eine leistungsfähige Algebra-Software im Zugriff hat.
Gruß
Dieter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Fr 18.04.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Leider hilft mir Deine Berechnung, die ich, soweit Du
> gekommen bist, auch nachvollziehen kann, nicht weiter, weil
> ich Deinen Schlussterm
>
> [mm]v^{4} - 4v^{3}V - 2v^{2}V^{2} + 4vV^{3} + 5V^{4} = 0[/mm]
>
> auch nicht vereinfachen bzw. auflösen kann.
Ich habe jetzt mal mit meinem TR nach der Newton-Methode losgelegt und gefunden, daß v = 4,18V ist. Damit ergibt sich für die Strecke 29,26 m. Sie setzt sich zusammen aus 2 Querstrecken à 7,31 m, der Hin-Strecke zu 9,07 m und der Rückstrecke zu 5,56 m. Modulo meiner Rundungsfehler.
Grüße von der Elbe in den Letziggrund (oder so)
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Fr 18.04.2008 | | Autor: | BeniMuller |
Lieber Dieter
Danke für Deine Berechnungen. Ich bin gerade mit Arbeit überhäuft worden und komme daher nicht dazu, Deine Lösung zu prüfen. Melde mich diesbezüglich aber nochmals.
Ich habe weder mit Fussball (Letzigrund und Hardturm) noch mit Leichtatletik (Letzigrund) etwas am Hut.
Geographisch wohne ich näher beim Hardturm Stadion.
Als Kind war ich jeden Sommer in Rissen in den Ferien. Am Sonntag gings dann jeweils zu Willkommen Höft. In diesem Sinne Hummel Hummel aus Zürich
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:27 Di 15.04.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Meine Lösung setz voraus, dass die Polizeigrille in einem
> Winkel von 30 ° in Bezug auf die Kante 1-4 auf den Punkt 1a
> steuert.
Warum sollte das so sein?
> Meine 3 Fragen:
>
> 1. Ist mein Ergebnis richtig?
> 2. Ist meine Voraussetzung richtig?
> 3. Wie kann ich meine Voraussetzung plausibel
> machen/berechnen/beweisen?
>
>
> Abschätzung:
>
> [mm]4 \ * 7 \ < S < 6 \ * 7 \ [/mm]
>
> [mm]\ \ 28 \ < S < 42 \ [/mm]
>
>
> Lösung:
>
> Wenn die Fläche der quadratischen Division 49m² beträgt,
> dann ist eine Kante 7 m lang.
>
> Die waagrechten Strecken [mm]\ \overline{1_{a} \ 2_{a}} [/mm]
> und [mm]\ \overline{3_{a} \ 4_{a}} [/mm] sind beide 7 m
> lang.
>
> Für die Strecke [mm]\ \overline{A \ 1_{a}} [/mm] gilt der
> Pythagoras:
>
> [mm]\ \overline{A \ 1_{a}} \ = \ \wurzel{ \ ( \bruch{7}{2})^{2} \ + \ ( \bruch{7}{4})^{2}}[/mm]
>
> Diese schräge Strecke kommt betragsmässig insgesamt 4 mal
> vor:
>
> [mm]\ \overline{A \ 1_{a}} , \ \overline{1_{a} \ B} , \ \overline{B \ 3_{a}} , \ \overline{4_{a} \ C} [/mm]
>
> Die Gesamtstrecke der Polizei-Grille berechnet sich daher
> zu:
>
> [mm]S \ = \ 2 \ * \ 7 \ + \ 4 * \ \wurzel{ \ ( \bruch{7}{2})^{2} \ + \ ( \bruch{7}{4})^{2}} [/mm]
Die 2*7 stimmen nicht, weil die Polizeigrille in Hin-Richtung (viel) mehr zurücklegt und in Rück-Richtung (etwas) weniger. Wenn beide gleich schnell wären, würde sie nie überholen, der Weg also unendlich.
Gruß
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:30 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Hamilton |
Das Problem beschäftigt mich nun schon seit längerem. Hat jemand schon eine brauchbare Lösung gefunden?
Viele Grüsse
H.
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Liebe Mitlöser.
Ich hatte zu viel um die Ohren und habe das Problem vergessen.
Wenn aber jemand doch noch weiter gekommen ist, wäre das natürlich interessant zu wissen.
Herzliche Grüsse aus Zürich
Beni
P.S. Das hardturmstadium wurde inzwischen abgerissen,
das neuen Letzigrundstadion rostet fröhlich vor sich hin.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Di 20.04.2010 | | Autor: | chrisno |
Da das Bild nicht zu sehen ist: bewegt sich das Quadrat parallel zu einer seiner Seiten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Mi 21.04.2010 | | Autor: | chrisno |
Ich habe nun angenommen, dass die Bewegung des Quadrats parallel zu einer Kante verläuft. Ich ziehe eine Version mit einer Schafherde und einem Schäferhund vor. Dann hat der Schäferhund etwa die 4,18-fache Strecke also 29,26 m zurückgelegt.
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