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| Aufgabe | | Seien V ein Vektorraum, f [mm]\in[/mm] End(V) und U ein f-invarianter Untervektorraum. Sei weiter [mm]\varphi[/mm] : V->V/U der kanonische Epimorphismus. Zeigen Sie, dass f einen Endomorphismus f' von V/U induziert, sodass das folgende Diagramm kommutiert. (D.h. es soll gelten: [mm]\varphi°f=f'°\varphi) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mir ist vom logischen Verständnis schon klar, dass wenn f von V nach V abbildet, dann f' durch den kanonischen Epimorphismus bedingt von V/U zu V/U abbilden muss.
Wir haben in einer Übung mal eine ähnliche Aufgabe mit dem Homomorphiesatz gelöst, aber ich weiß nicht genau ob der hier was bringt..?
Kann mir jemand eine kleine Hilfestellung zu der Aufgabe geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Mi 29.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Seien V ein Vektorraum, f [mm]\in[/mm] End(V) und U ein
> f-invarianter Untervektorraum. Sei weiter [mm]\varphi[/mm] : V->V/U
> der kanonische Epimorphismus. Zeigen Sie, dass f einen
> Endomorphismus f' von V/U induziert, sodass das folgende
> Diagramm kommutiert. (D.h. es soll gelten:
> [mm]\varphi°f=f'°\varphi)[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Mir ist vom logischen Verständnis schon klar, dass wenn f
> von V nach V abbildet, dann f' durch den kanonischen
> Epimorphismus bedingt von V/U zu V/U abbilden muss.
> Wir haben in einer Übung mal eine ähnliche Aufgabe mit
> dem Homomorphiesatz gelöst, aber ich weiß nicht genau ob
> der hier was bringt..?
> Kann mir jemand eine kleine Hilfestellung zu der Aufgabe
> geben?
Die Elemente von V/U bezeichne ich mit [v]. Also v [mm] \in [/mm] V und [v]=v+U
Definiere f' wie folgt:
f'([v]):=[f(v)]
FRED
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Okay vielen Dank, wenn ich das f' wie du definiere ist es nach unserem Diagramm klar. Reicht das schon allein als Beweis oder muss ich dazu noch etwas anderes zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:38 Do 30.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo black_out,
> wenn ich das f' wie du definiere ist es
> nach unserem Diagramm klar. Reicht das schon allein als
> Beweis oder muss ich dazu noch etwas anderes zeigen?
Zu zeigen ist noch die Wohldefiniertheit von f' und, dass es sich bei f' um eine lineare Abbildung handelt.
Alternative: Wende den Homomorphiesatz auf die Abbildung [mm] $\varphi [/mm] f$ an.
Viele Grüße
Tobias
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Okay, zu zeigen, dass es eine lineare Abbildung ist dürfte nicht so schwer werden, da rechne ich doch dann eigentlich nur die Bedingungen durch.
Mit der Wohldefiniertheit bin ich mir jetzt nicht so sicher, was genau muss ich dazu machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 Fr 31.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Mit der Wohldefiniertheit bin ich mir jetzt nicht so
> sicher, was genau muss ich dazu machen?
Die Abbildungsvorschrift ist ja folgende:
Gegeben ein [mm] $x\in [/mm] V/U$, wähle ein [mm] $v\in [/mm] V$ mit $x=[v]$. Dann sei $f'(x):=[f(v)]$.
Das Problem: Das [mm] $v\in [/mm] V$ mit $x=[v]$ ist i.A. keineswegs eindeutig. $f'(x)$ ist nur dann wohldefiniert, wenn $[f(v)]$ unabhängig von der Wahl von $v$ ist.
Betrachte also zwei beliebig vorgegebene Vektoren [mm] $v,w\in [/mm] V$ mit $[v]=[w]$. Zu zeigen ist $[f(v)]=[f(w)]$.
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