Kardinalität von Mengen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Sa 23.10.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Ich sitze hier vor paar Beweisen und weiß net, wie ich anfangen soll:
Kann vielleicht jemand einen Anstoß geben ?
Aufgabe 1:
X ist eine Menge und für Teilmengen A [mm] \subseteq [/mm] X definiert man die Funktion
[mm] Xi_A(x)= [/mm] 1 falls x [mm] \in [/mm] A und 0 falls x [mm] \not\in [/mm] A.
Wir sollen nun die folgenden Identiäten beweisen:
M=X-A (X ohne A)
(I) [mm] Xi_{M} =1-Xi_A
[/mm]
(II) Xi_A1 [mm] \cap [/mm] A2=Xi_A1 * Xi_A2 für alle Teilmengen A1,A2 [mm] \subseteq [/mm] X.
Aufgabe 2:
A und B sind endliche Mengen, beweise |A [mm] \cup [/mm] B|=|A|+|B|+|A [mm] \cap [/mm] B|
Es ist ja net so, dass ich mir da keine Gedanken drüber gemacht hätte, und Aufgabe 1 (I), kann ich auch nachvollziehen, aber wie beweisen ?
Überlegungen:
x [mm] \not\in C\A \gdw x\not\in [/mm] C [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] A
Falls x [mm] \in [/mm] A ist, so ist [mm] Xi_{M} [/mm] = 0 und [mm] Xi_A=1
[/mm]
Falls x [mm] \not\in [/mm] A ist, so ist [mm] Xi_{M} [/mm] = 1 und [mm] Xi_A=0
[/mm]
Das ist ja alles klar, aber Das ist doch net der richtige Weg zum Beweis ?
Zu der Aufgabe 2 komm ich net weiter als:
A ist eine Teilmenge von A [mm] \cup [/mm] B
Jemand da, der mir helfen kann ? [bestimmt]
Danke
Faenôl
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Sa 23.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Faenôl!
Erstmal ein dickes Lob für diese vorbildlich gestellte Frage, so muss das sein! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Es ist ja net so, dass ich mir da keine Gedanken drüber gemacht hätte, und Aufgabe 1 (I), kann ich auch nachvollziehen, aber wie beweisen ?
Gut, dass du deine Gedanken hier gepostet hast, denn dann kann ich mir die ganze Arbeit sparen - sie sind nämlich richtig. Du hast es ja sogar schon richtig aufgeschrieben. Was fehlt sind jetzt noch ein paar Worte dazu, also die Idee, die dahinter steckt und die Tatsache, dass deine beiden Gleichungen für alle [mm] $x\in [/mm] X$ gelten sollen. Dann hast du es schon.
Bei 1(b) würde ich analog vorgehen. Du zeigst die Gültigkeit der Gleichung für alle [mm] $x\in [/mm] X$, indem du die nötigen Fallunterscheidungen durchführst. Ein paar Schritte kann ich dir ja schon vorrechnen:
Sei [mm] $x\in [/mm] X$ und [mm] $A_1,A_2\subseteq [/mm] X$, dann folgt aus der Definition von [mm] $Xi_M$:
[/mm]
(1) [mm] $Xi_{A_1\cap A_2}(x)=1 \gdw x\in A_1\cap A_2\gdw (Xi_{A_1}(x)=1\wedge Xi_{A_2}(x)=1)$. [/mm] Da [mm] $Xi_M(x)$ [/mm] den Bildbereich [mm] $\{0,1\}$ [/mm] hat, gilt: [mm] $Xi_{A_1}(x)\cdot Xi_{A_2}=1\gdw Xi_{A_1}(x)=1\wedge Xi_{A_2}(x)=1$ [/mm] und nach (1) auch [mm] $\gdw Xi_{A_1\cap A_2}=1$. [/mm] Somit ist ein Fall bewiesen. Schaffst du noch die anderen?
Zu (2):
Ich denke du hast dich verippt. Die Gleichung soll wohl lauten: [mm] $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap [/mm] B|$
Bei Aussagen über die Mächtigkeit von Mengen würde ich mir ein beliebiges Element heraussuchen und prüfen, ob es auf beiden Seiten gleich oft gezählt wird. Unterscheidest du zwischen den Elementen, die lediglich in einer der beiden Mengen enthalten sind, und denen, die in beiden Enthalten sind, dann wirst du die Gleichung schnell verifizieren können.
So, meld dich wieder, wenn du Fragen hast.
Liebe Grüße,
Hanno
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