Kartesisches Produkt ->Schnitt < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien A,B und C Mengen. Beweise [mm] (A\times B)\cap (A\times C)=A\times (B\cap [/mm] C) und [mm] (A\times B)\cup (A\times C)=A\times (B\cup [/mm] C) |
Also die beiden Aufgaben gehn ja wahrscheinlich analog...wahrscheinlich ist es auch total leicht, aber ich sitz grad irgendwie total auf dem Schlauch und wäre für Tipps sehr dankbar.
Das kartesische Produkt haben wir folgendermaßen definiert:
[mm] A\times [/mm] B:={(a,b); [mm] a\in [/mm] A, [mm] b\in [/mm] B}
Schnitt und Vereinigung so:
[mm] A\cap [/mm] B:={x; [mm] x\in [/mm] A [mm] \wedge x\in [/mm] B}
[mm] A\cup [/mm] B:={x, [mm] x\in [/mm] A [mm] \vee x\in [/mm] B}
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:12 Mi 07.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien A,B und C Mengen. Beweise [mm](A\times B)\cap (A\times C)=A\times (B\cap[/mm]
> C) und [mm](A\times B)\cup (A\times C)=A\times (B\cup[/mm] C)
> Also die beiden Aufgaben gehn ja wahrscheinlich
> analog...wahrscheinlich ist es auch total leicht, aber ich
> sitz grad irgendwie total auf dem Schlauch und wäre für
> Tipps sehr dankbar.
> Das kartesische Produkt haben wir folgendermaßen
> definiert:
> [mm]A\times[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B:={(a,b); [mm]a\in[/mm] A, [mm]b\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B}
> Schnitt und Vereinigung so:
> [mm]A\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B:={x; [mm]x\in[/mm] A [mm]\wedge x\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B}
> [mm]A\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B:={x, [mm]x\in[/mm] A [mm]\vee x\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B}
Um $ (A\times B)\cap (A\times C)=A\times (B\cap $ C) zu zeigen, zeigen wir, dass die linke Menge in der rechten enthalten ist und umgekehrt.
Wir nehmen uns also ein x \in (A\times B)\cap (A\times C) her. Dann ist
x \in A\times B und x \in A\times C.
Dann gibt es a \in A, b \in B und c \in C mit: x=(a,b)=(a,c).
Es folgt b=c und damit b \in B \cap C. Fazit: x \in A\times (B\cap C)
Nun zeige Du die umgekehrte Inklusion.
FRED
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Erst einmal danke!
Kann ich die Umgekehrte Richtung dann folgendermaßen aufschreiben:
Wähle [mm] x\in A\times (B\cap [/mm] C) , also x=(a,d) mit [mm] d\in (B\cap [/mm] C)
[mm] \Rightarrow d\in [/mm] B [mm] \wedge d\in [/mm] C
[mm] \Rightarrow x\in (A\times [/mm] B) [mm] \wedge x\in (A\times [/mm] C)
[mm] \Rightarrow (A\times B)\cap (A\times [/mm] C)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Mi 07.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Kate-Mary,
> Kann ich die Umgekehrte Richtung dann folgendermaßen
> aufschreiben:
>
> Wähle [mm]x\in A\times (B\cap[/mm] C) , also x=(a,d) mit [mm] $\red{a\in A\text{ und}}$[/mm] [mm]d\in (B\cap[/mm] C)
> [mm]\Rightarrow d\in[/mm] B [mm]\wedge d\in[/mm] C
> [mm]\Rightarrow x\in (A\times[/mm] B) [mm]\wedge x\in (A\times[/mm] C)
> [mm]\Rightarrow \red{x\in}(A\times B)\cap (A\times[/mm] C)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Kate-Mary |
okay. Danke, dann hab ichs kapiert :)
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