Kartesisches Produkt / Gruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:04 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | a) Seien G und H Gruppen. Zeige, dass das Produkt G X H durch die komponentenweise Verknüpfung (g,h)(g',h') := (gg',hh') eine Gruppe wird.
b) Finde eine hinreichende und notwendige Bedingung an n und m dafür, dass [mm] Z_{n} [/mm] X [mm] Z_{m} [/mm] isomorph zu [mm] Z_{d} [/mm] für ein passendes d (welches?) ist. |
Hallo!
Aufgabe a) habe ich bereits gelöst. Das war nicht schwer. Bei b) habe ich allerdings meine Probleme. Kann mir jemand einen Denkansatz geben? Das wäre toll. Danke!
Leni
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:17 Fr 02.11.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Leni!
> a) Seien G und H Gruppen. Zeige, dass das Produkt G X H
> durch die komponentenweise Verknüpfung (g,h)(g',h') :=
> (gg',hh') eine Gruppe wird.
>
> b) Finde eine hinreichende und notwendige Bedingung an n
> und m dafür, dass [mm]Z_{n}[/mm] X [mm]Z_{m}[/mm] isomorph zu [mm]Z_{d}[/mm] für ein
> passendes d (welches?) ist.
> Aufgabe a) habe ich bereits gelöst. Das war nicht schwer.
Schön!
> Bei b) habe ich allerdings meine Probleme. Kann mir jemand
> einen Denkansatz geben? Das wäre toll. Danke!
Ein Denkansatz wäre, ein bißchen zu experimentieren und die Gruppen [mm] Z_{2} [/mm] X [mm] Z_{2} [/mm] und [mm] Z_{2} [/mm] X [mm] Z_{3} [/mm] zu untersuchen (mit Hilfe der Verknüpfungstafel). Wenn du diese beiden Fälle analysiert hast, was kannst du dann schon mal über [mm] Z_{2} [/mm] X [mm] Z_{4} [/mm] sagen? Welche [mm] Z_{n} [/mm] X [mm] Z_{m} [/mm] sind jedenfalls nicht zyklisch?
Laß von dir hören und Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hi Dieter!
Danke schonmal. Nochmal kurz eine Frage, bevor ich alles falsch mache:
Muss ich jetzt hier als Verknüpfungsoperator auch mit "*" arbeiten oder mit "+"?
LG Leni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Fr 02.11.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> Muss ich jetzt hier als Verknüpfungsoperator auch mit "*"
> arbeiten oder mit "+"?
Du bist ein freier Mensch und mußt gar nichts! Was du tun solltest, hängt davon ab, was ihr mit [mm] Z_{n} [/mm] meint. Ist das die allgemeine zyklische Gruppe der Ordnung n oder sind das die ganzen Zahlen mod n mit der Addition als Verknüpfung (genauer, damit keiner von meinen Kollegen meckert: mit der von der Addition der ganzen Zahlen induzierten Verknüpfung). Im letzteren Fall solltest du + als Verknüpfungszeichen wählen, im allgemeinen Fall vielleicht eher [mm] \circ [/mm] oder *. Letztlich ist das völlig egal, du kannst die Verknüpfung auch 'Meyer' nennen, also a 'Meyer' y schreiben, aber das ist sehr umständlich und auch eher ungewöhnlich.
Bis zum nächsten Mal
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Leni-H |
Also ich habs jetzt mal mit "+" gemacht. Ich denke der Prof meint die ganzen Zahlen modulo n. Bei [mm] Z_{2} [/mm] X [mm] Z_{2} [/mm] ist auffällig, dass jedes Element zu sich selbst invers ist. Bei [mm] Z_{2} [/mm] X [mm] Z_{3} [/mm] ist das nicht so. Aber ich verstehe nicht, warum jetzt hier eine Gruppe nicht zyklisch sein soll. Wenn man doch mit der in Teilaufgabe a) definierten Verknüpfung arbeitet, werden doch immer zwei Elemente aus derselben Gruppe addiert und da diese einzelnen Gruppen zyklisch sind, kommt doch auch beim Kartesischen Produkt was zyklisches raus. Oder hab ich was falsch verstanden?
Liebe Grüße,
Leni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Fr 02.11.2007 | | Autor: | statler |
Hey!
> Bei [mm]Z_{2}[/mm] X [mm]Z_{3}[/mm] ist das nicht so. Aber ich verstehe
> nicht, warum jetzt hier eine Gruppe nicht zyklisch sein
> soll.
Dann versuch doch mal, ein erzeugendes Element zu finden, ff dabei 
> Oder hab ich was falsch verstanden?
Wahrscheinlich ja.
Gruß
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Leni-H |
Naja, irgendwie kapiere ich das nicht so richtig. Was wäre denn ein erzeugendes Element für [mm] Z_{2} [/mm] X [mm] Z_{2}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Fr 02.11.2007 | | Autor: | statler |
> Naja, irgendwie kapiere ich das nicht so richtig. Was wäre
> denn ein erzeugendes Element für [mm]Z_{2}[/mm] X [mm]Z_{2}?[/mm]
Ebend, das sollst du doch mir sagen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 So 04.11.2007 | | Autor: | Leni-H |
Also jetzt nochmal zu der Aufgabe.
Ich habe als Beispiel jetzt mal d=4 genommen. [mm] \IZ_{4} [/mm] hat 4 Elemente, wobei 2 Elemente selbstinvers sind und die anderen 2 gegenseitig invers sind.
Dann hab ich jetzt mal [mm] \IZ_{2}X\IZ_{2} [/mm] genommen, weil diese Gruppe auch 4 Elemente hat. Hier ist es aber so, dass jedes Element zu sich selbt invers ist, also kann diese Gruppe nicht isomorph zu [mm] \IZ_{4} [/mm] sein, richtig?
Als nächste Möglichkeit habe ich [mm] \IZ_{4}X\IZ_{1} [/mm] genommen. Diese Gruppe hat auch 4 Elemente und besitzt außerdem 2 selbstinverse und 2 gegenseitig inverse Elemente, genauso wie [mm] \IZ_{4}. [/mm] Kann ich dann in diesem Fall schon sagen, dass diese Gruppe isomorph zu [mm] \IZ_{4} [/mm] ist?
Was wären dann die Bedingungen?:
Notwendig : d=n*m und
Hinreichend: n [mm] \not= [/mm] m ?????
Grüße Leni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Mo 05.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich habe als Beispiel jetzt mal d=4 genommen. [mm]\IZ_{4}[/mm] hat 4
> Elemente, wobei 2 Elemente selbstinvers sind und die
> anderen 2 gegenseitig invers sind.
> Dann hab ich jetzt mal [mm]\IZ_{2}X\IZ_{2}[/mm] genommen, weil
> diese Gruppe auch 4 Elemente hat. Hier ist es aber so, dass
> jedes Element zu sich selbt invers ist, also kann diese
> Gruppe nicht isomorph zu [mm]\IZ_{4}[/mm] sein, richtig?
richtig. das ist eine "isomorphieinvariante", also eine eigenschaft, die bei zwei isomorphengruppen gleich sine muss.
> Als nächste Möglichkeit habe ich [mm]\IZ_{4}X\IZ_{1}[/mm] genommen.
> Diese Gruppe hat auch 4 Elemente und besitzt außerdem 2
> selbstinverse und 2 gegenseitig inverse Elemente, genauso
> wie [mm]\IZ_{4}.[/mm] Kann ich dann in diesem Fall schon sagen, dass
> diese Gruppe isomorph zu [mm]\IZ_{4}[/mm] ist?
es ist doch [mm] $\mathbb{Z}_1 [/mm] = [mm] \mathbb{Z}/1\mathbb{Z} [/mm] = [mm] \{ 0 + \mathbb{Z}\}$ [/mm] die triviale gruppe und wenn man das direkte produkt einer gruppe $G$ mit dieser gruppe bildet so ändert sich nichts, es gilt also stets $G [mm] \times \mathbb{Z}_1 \cong [/mm] G$ vermöge dem offensichtliche isomorphismus $G [mm] \times \mathbb{Z}_1 \longrightarrow [/mm] G; [mm] \;(g, [/mm] 0 + [mm] \mathbb{Z}) \longmapsto [/mm] g$.
> Was wären dann die Bedingungen?:
>
> Notwendig : d=n*m und
genau, das ist offensichtlich notwendig damit die gruppen überhaupt gleich viele elemente enthalten.
> Hinreichend: n [mm]\not=[/mm] m ?????
nein das ist nicht hinreichend. betrachte etwa $m = 2$, $n = 4$, dann enthält [mm] $\mathbb{Z}_8$ [/mm] ein element der ordnung $8$. ist dies auch bei [mm] $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$ [/mm] der fall?
grüße
andreas
|
|
|
|
