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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:37 Mi 17.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo zusammen!
Ich bins nochmal!
Ich hab da noch eine Aufgabe, die eigentlich gar nicht soo schwer zu sein scheint, aber ich finde dort einfach keine Lösung!
Die Aufgabe lautet:
Eine Menge [mm] {\cal K} [/mm] heißt Kegel, wenn mit [mm] x\in{\cal K} [/mm] auch [mm] {\alpha}x\in{\cal K} [/mm] für jede Zahl [mm] \alpha\ge0.
[/mm]
a) Beweisen oder widerlegen Sie: Jeder Kegel ist konvex.
b) Zeigen Sie: ein polyedrischer Kegel der Form [mm] {\cal K}={x\in\IR^{n}:Ax\le0} [/mm] (mit [mm] A\in\IR^{mxn}) [/mm] hat höchstens einen Extrempunkt, nämlich den Ursprung!
Also zu a)
Also zuerst hab ich mir überlegt, dass Kegel im [mm] \IR^{2} [/mm] bzw. [mm] \IR^{3} [/mm] so wie ich sie mir vorstelle, konvex sind! Die Frage ansich klingt allerdings so als würde es ein Gegenbeispiel geben, aber da finde ich keins!
Und wenn ich davon ausgehe, dass es doch stimmt, dann komm ich nicht besonders weit:
für [mm] x_{1},x_{2}\in{\cal K} [/mm] gilt zunächst auch [mm] {\alpha}x_{1},{\alpha}x_{2}\in{\cal K}
[/mm]
Zu zeigen wär dass auch [mm] {\lambda}x_{1}+(1-\lambda)x_{2}\in{\cal K}
[/mm]
Ich hab schon für so viele Mengen gezeigt dass sie konvex sind aber hier find ich den nächsten Schritt einfach nicht.......
zu b)
Hier hab ich absolut keinen formellen Ansatz!
Ich habe mir zunächst nur überlegt dass es stimmen muß, denn stellt man sich das ganz einfach als Kegel, wie man ihn normal kennt vor, so wär dieser umgekippt, also nach unten geöffnet und die Spitze läge als "höchster" Punkt im Ursprung!
Nur wie ich das zeigen soll..... keine Ahnung!
Ich wär echt dankbar für ein paar gute Tipps!!!
Liebe Grüße und schonmal vielen Dank
Ulrike
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Hallo Ulrike!
Also zu a) habe ich ein Gegenbeispiel...
Ich betrachte im [mm] $\IR^2$ [/mm] die Vereinigung der Achsenkreuze, also $K = [mm] \{ (x,y) \in \IR^2 : x = 0 \vee y = 0 \}$
[/mm]
Das ist offensichtlich ein Kegel - denn für $(x,y) [mm] \in [/mm] K$ ist auch [mm] $(\alpha [/mm] x, [mm] \alpha [/mm] y) [mm] \in [/mm] K$, da die Bedingung weiterhin erfüllt ist und zwar für jedes [mm] $\alpha \in \IR$... [/mm] aber $K$ ist offenbar nicht konvex (Die Verbindung zwischen $(0,1)$ und $(1,0)$ enthält ja z.B. [mm] $(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \notin [/mm] K$).
Zu b) kann ich leider nicht viel sagen - ich habe lineare Optimierung nie gehört... das überlasse ich anderen. 
Lars
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