Kegel in Kugel - MIN.V(Kugel) < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:43 So 20.01.2013 | | Autor: | Dio21 |
| Aufgabe | | Ein gerader Kreiskegel soll mit einer Kugel mit möglichst kleinem Volumen umbeschrieben werden (Kugel Radius R minimal). Wie ist der Kegel zu dimensionieren (Radius r, Höhe h). |
Was ich bis jetzt gemacht habe:
- Skizze Kegel in Kreis
R = Kugelradius
r = Kegelradius
h = Kegelhöhe
[Dateianhang nicht öffentlich]
- Dreieck markiert:
x = Teilstück aus Satz des Thales [mm] (r^{2} [/mm] = h * x)
- Satz des Thales heran gezogen
weitere Dreieck:
y = Teilstück von h
mit R vom Mittelpunkt M zu A (untere linke Ecke vom Kegel)
-> [mm] R^{2} [/mm] = [mm] r^{2} [/mm] + [mm] y^{2}
[/mm]
-> y = h - R
Behauptungen aus Überlegung:
r fest:
-> h wird größer = x wird kleiner
-> h wird kleiner = x wird größer
h fest:
-> r wird größer = x wird größer
-> r wird kleiner = x wird kleiner
-> x verhält sich proportional zu r und dem Verhältnis von r zu h
-> somit beschreiben erntender (h + x)/2 den minimale n Radius R wenn das Ergebnis größer ist als r, ansonsten gilt R = r
Folglich müsste R minimal werden wenn folgendes gilt:
(h + x) / 2 = r = R --> h = r = x = R(min.)
Haut das soweit alles hin ?
Wie kann ich das jetzt rechnerisch belegen ?
hab diverse Versuche unternommen
Was Nebenbedingungen angeht aber irgendwie kam da murx bei rum...
Hoffe ihr könnt mir helfen...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 So 20.01.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
es handelt sich wohl nicht um eine Umformung, sondern um eine von der ersten unabhängige, richtige Beziehung.
Das Problem ist, dass die Aufgabe nicht vollständig zitiert wurde, so dass die Nebenbedingung nicht aufgestellt werden kann. Ich vermute, dass es heißen muss ".. ein Kegel mit festem Volumen V ..."
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:49 So 20.01.2013 | | Autor: | Dio21 |
Schonmal danke fürs reinfinden in meine Aufgabenstellung!
Die Aufgabe ist lediglich von mir so formuliert worden. Zum üben..
Als alternative zu Kegel in Kugel mit Radius R und Kegelvolumen soll maximal werden (wie muss dieser dimensioniert werden)
Skizze ist jetzt dabei...
Vielleicht ist die Aufgabe so wie ich sie mir überlegt hab auch nicht möglich oder nicht richtig formuliert... ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 So 20.01.2013 | | Autor: | Dio21 |
Ich habe jetzt eine Skizze hochgeladen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 So 20.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dio!
Danke für die Skizze! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Deine Hauptbedingung lautet: $V \ = \ [mm] V_{\text{Kugel}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{3}*\pi*R^3$
[/mm]
Und eine mögliche Nebenbedingung hast Du ja bereits selber augestellt mit:
(1) [mm] $R^2 [/mm] \ = \ [mm] r^2+y^2$ [/mm] sowie
(2) $y \ = \ h-R$
Setze (2) in (1) ein, stelle nach $R \ = \ ...$ um und setze in die Volumensformel ein.
Wie aber bereits geschrieben wurde, fehlt dann noch eine weitere Information / Bedingung, da die Volumensformel dann immer noch zwei Unbekannte enthält.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 So 20.01.2013 | | Autor: | Dio21 |
Ok also wäre ein Aufgabenstellung so wie ich sie mir überlegt habe nicht denkbar ?
Sondern müsste so lauten ?
Aufgabe:
Einem geraden Kreiskegel mit Radius r soll eine Kugel mit möglichst kleinem Volumen umbeschrieben werden (Kugel Radius R soll minimal werden). Wie ist der Kegel zu dimensionieren (Höhe h).
Also ich muss vom Kegel eine Variable kennen oder selber festsetzen um das ganze rechnerisch zu lösen ?
Und zu zeigen das, dass Kugelvolumen bei h = r minimal wird ?
Die Behauptung von mir war doch auch richtig oder ?
sorry ich hab da dran schon sooo viel drum rum gerechnet das ich grad echt an mir zweifle :/
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> Ok also wäre ein Aufgabenstellung so wie ich sie mir
> überlegt habe nicht denkbar ?
>
> Sondern müsste so lauten ?
>
> Aufgabe:
>
> Einem geraden Kreiskegel mit Radius r soll eine Kugel mit
> möglichst kleinem Volumen umbeschrieben werden (Kugel
> Radius R soll minimal werden). Wie ist der Kegel zu
> dimensionieren (Höhe h).
Wenn die Aufgabe so lautet, könnte man sofort sagen,
dass R nicht kleiner als r werden kann (warum ?),
und dann weiter, dass man R=r nehmen kann. Damit
wird ein Großkreis der Kugel zum Grundkreis des
Kegels. Nun muss man nur noch darauf achten, dass
die Spitze des Kegels nicht aus der Kugel herausragt.
Wir müssten also nur noch verlangen, dass $\ [mm] h\le [/mm] R=r$
Für die Höhe h des Kegels erhalten wir also keinen
bestimmten Wert, sondern nur die Ungleichungskette
$\ [mm] 0
"echten" Kegel und nicht nur eine Kreisscheibe erhält).
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 So 20.01.2013 | | Autor: | Dio21 |
Ich hatte an der Stelle auch schon versucht [mm] r^{2} [/mm] anders auszudrücken damit ich nur von einer Variable abhängig bin.
3.) x = 2R - h
4.) [mm] r^{2} [/mm] = h * x
3.) in 4.)
und das dann in gebildete Funktion aus 1.) und 2.) für [mm] r^{2}
[/mm]
Ist das denkbar oder völliger quatsch ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 So 20.01.2013 | | Autor: | Dio21 |
Da komm ich dann auf:
[mm] R^{2} [/mm] = h * (2R - h) + (h - [mm] R)^{2}
[/mm]
was ausgeschrieben irgendwie müll ist :/
[mm] R^{2} [/mm] = 2Rh - 2Rh - [mm] h^{2} [/mm] + [mm] h^{2} [/mm] + [mm] R^{2}
[/mm]
[mm] R^{2} [/mm] = [mm] R^{2}
[/mm]
-.-
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:26 Mo 21.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
yu einem gegebenen Kegel gibt es nur eine Umkugel, die den Grundkreis und die Spitze auf der Kugel haben, genau, wie es nur einen Umkreis um ein gegebenes Dreieck gibt. Deshalb kannst du nicht nach einer maxi oder minimalen Umkugel suchen. dagegen kannst du in eine Kugel viele Kegel in einen Kreis viele Dreiecke einbeschreiben, so dass die Frage nach dem Kegel mit groesstem Volumen oder Oberflaeche, die man in eine Kugel einbeschreiben kann sinnvoll ist.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:54 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Dio21 |
Ist denn meine Behauptung das generell gesehen ein Kegel dann in einer Kugel für den minimalsten Kugelradius sorgt wenn gilt: h = r ?
Das muss sich doch irgendwie bewiesen lassen :/
außer durch ausprobieren (was ich getan hab)
> zu einem gegebenen Kegel gibt es nur eine Umkugel, die den
> Grundkreis und die Spitze auf der Kugel haben
richtig aber unendlich viele die größer als der Kegel sind...
und daher ja die frage wie der Kegel zu dimensionieren ist damit das was drin ist immer noch ein Kegel ist und dafür sorgt das der Kugelradius minimal wird um einen Kegel..
Wenn meine behauptung stimmt wäre klar das es zu einem Kegel mit Radius r nur eine kleinste Kugel gibt. Und zwar genau dann wenn r = R und das passiert genau dann wenn (h + x)/2 nicht größer wird als r und das passiert nur dann wenn h = x = r..
> dagegen kannst du in eine Kugel viele Kegel in
> einen Kreis viele Dreiecke einbeschreiben, so dass die
> Frage nach dem Kegel mit groesstem Volumen oder
> Oberflaeche, die man in eine Kugel einbeschreiben kann
> sinnvoll ist.
Jub aber es gibt auch diese Möglichkeit (wenn man mal die Formen tauscht):
Einer Kugel vom Radius R soll ein gerader Kreiskegel mit min. Vol. umbeschrieben werden
(Hohe h und Radius r ??)
dort versuch ich ja zu berechnen wie ich h und r zu dimensionieren muss im Bezug zu R (egal welchen wert der auch immer haben wird)
Lösung wäre h = 4R und r (aus Nebenbedingung): r = [mm] \wurzel{2} [/mm] * R
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:57 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Dio21 |
> Einer Kugel vom Radius R soll ein gerader Kreiskegel mit
> min. Vol. umbeschrieben werden
> (Hohe h und Radius r ??)
Meine Übungsaufgabe zielt halt genau da drauf ab das die Formen tauschen.. also soll so gedacht/gestellt sein...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:31 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Dio21 |
Leider ist mir das Frage/Mitteilung System noch nicht ganz in Fleisch und Blut übergegangen...
Mag sich hier wer meine neuen Mitteilung bzgl. der Aufgabe ansehen...?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Dio21 |
Leider ist mir das Frage/Mitteilung System noch nicht ganz in Fleisch und Blut übergegangen...
Mag sich hier wer meine neuen Mitteilungen bzgl. der Aufgabe ansehen...?
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> Leider ist mir das Frage/Mitteilung System noch nicht ganz
> in Fleisch und Blut übergegangen...
Das sollte doch nicht so furchtbar schwer sein:
falls du eine Antwort wünschst, so stelle eine Frage !
> Mag sich hier wer meine neuen Mitteilungen bzgl. der
> Aufgabe ansehen...?
Ich habe den Thread erst jetzt angetroffen und sehe,
dass du reihenweise "Mitteilungen" reingestellt und
offenbar auch gar nicht auf Reaktionen gewartet hast.
Da hat man gar nicht unbedingt große Lust, alles
durchzusehen ! (ich habe es eben nur teilweise getan)
Im Moment möchte ich nur etwas zur Aufgabe sagen,
von der ich denke, dass sie nicht gut formuliert ist.
Es steht da:
"Ein gerader Kreiskegel soll mit einer Kugel mit
möglichst kleinem Volumen umbeschrieben werden
(Kugel Radius R minimal). Wie ist der Kegel zu
dimensionieren (Radius r, Höhe h)."
Meine Frage: was ist denn überhaupt gegeben und
was ist gesucht ?
Zuerst meint man, der Kegel sei gegeben. Dann
wären auch sein Radius r und seine Höhe h als
gegeben zu betrachten, und die gesuchte Kugel
wäre einfach die Umkugel des Kegels, deren
Radius man leicht mittels Pythagoras berechnen
kann, ohne eine eigentliche Extremalaufgabe
mittels Differentialrechnung zu lösen.
Dann wird aber doch nach den Dimensionen des
Kegels gefragt - ist also gar keine Größe gegeben ???
In diesem Fall würde ich sagen: nehmen wir
einen ("ausgearteten") Kegel mit r=0 und h=0,
dann haben wir auch eine Umkugel mit R=0
und Volumen = 0 ..... und minimälerer geht's
dann bestimmt nicht mehr !
Liefere uns also am besten einmal eine klare
Aufgabenstellung, in der man wirklich sieht,
was gegeben und was gesucht ist !
LG, Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Dio21 |
Das war meine eigentlich Aufgabe die ich hier NICHT gestellt habe:
Einer Kugel vom Radius R soll ein gerader Kreiskegel mit min. Vol. umbeschrieben werden
(Hohe h und Radius r ??)
Ziel h und r zu dimensionieren im Bezug zu R (egal welchen wert der auch immer haben wird)
Lösung wäre h = 4R und r (aus Nebenbedingung): r = /wurzel{2} * R
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Diese wollte ich zum üben einfach nur umbauen. Formen sollten die Plätze tauschen.
Ein gerader Kreiskegel soll mit einer Kugel mit möglichst kleinem Volumen umbeschrieben werden (Kugel Radius R minimal).
Meine Überlegung gingen also für MICH in die Richtung: wie habe ich h und r zu dimensionieren damit R minimal wird...
Und ja jetzt sehe ich auch das dies nicht so toll war denn wie du schon gesagt hast 0 = r = h bingo R ist minimal ;)
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Neue Aufgabenstellung also:
Ein gerader Kreiskegel mit Radius r soll mit einer Kugel mit möglichst kleinem Volumen umbeschrieben werden (Kugel Radius R minimal). Wie ist der Kegel zu dimensionieren (Höhe h).
also wie muss ich h im bezug zu r wählen damit R minimal wird.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Mo 21.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
darauf hat dir doch schon der letzte post die Antwort gegeben r=R h beliebig [mm] \le [/mm] r
da [mm] R\ge [/mm] r sein muss. dayu braucht man keinerlei Rechnung, es ist aber auch nicht die Umkehr des Problems einen moeglichst grossen kegel in eine Kugel einzubeschreiben, weil man dort das Verhaeltnis h/r berechnet.
wenn du also was entsprechendes willst musst du fragen, zu welchem k eines kegels mit h/r=k ist die Umkugel am kleinsten.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Dio21 |
Nabend
> welchem k eines kegels mit h/r=k ist die Umkugel am
> kleinsten.
genau das wollte ich die ganze zeit :/
hilfe ich bin jetzt noch mehr durchn wind als vorher und blick jetzt selber nicht mehr wirklich durch diese Unterhaltung :((
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Mo 21.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
seien Kegel gegeben, deren Verhaeltnis von Hoehe zu radius k ist
welches k muss man waehlen, damit die Umkugel minimales Volumen hat.
Das ist die Aufgabe, die du als Umkehrung zu der Frage welchen Kegel man so in eine Kugel einbeschreiben kann, dass er maximales Volumen hat suchst_?
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:05 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Dio21 |
da ich mir jetzt schon völlig unsicher bin stell ich das als frage und sage einfach..
Ja!? :/
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mo 21.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]"){kind=small}
Diese Umformung ist definitiv falsch.
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
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